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Monotonie beweisen ohne Ableitung

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Monotonie

H4x9r aktiv_icon

22:40 Uhr, 26.10.2014

Guten Abend Community !

Mich beschäftigt gerade die Frage, wie man das Monotonie verhalten von funktionen -ohnen Abzuleiten- bestimmen kann.
Vorallem komme ich nicht drauf, wie ich vorgehen soll.

Z . b . :

f (x) =

x²

- 3

Da ich weis das die Funktion im

D 1 = [0;

unendlich

[

streng monoton steigend ist, war es naheliegend mit

x 1 < x 2 \to f (x 1) < f (x 2)

anzufangen. Allerdings habe ich keine Ahnung wie ich eine Implikation beweisen soll...

Bitte helft mir

: (

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ledum aktiv_icon

23:08 Uhr, 26.10.2014

Hallo
ausx_2>x_1 folgt

x_{2} - x_{1} > 0

und

x_{1} + x_{2} > 0

für

x_{1}, x_{2} > 0

damit

(x_{1} - x_{2}) \cdot (x_{1} + x_{2}) > 0

usw.
Gruß ledum

H4x9r aktiv_icon

08:52 Uhr, 27.10.2014

Hi ledum.

Hilft mir leider nicht weiter

: (

stehe voll auf dem Schlauch.. bitte um Erklärung

Edit :

Ich glaube ich komme da so langsam dahinter..
wäre es so die richtige vorgehensweise wenn ich sage:

Vermutung: Die Funktion ist streng monoton steigend in

D 1

.

Für alle

x 1, x 2

Elemete aus

D 1 : x 1 < x 2

Zu Zeigen:

x 1 < x 2 \to f (x 1) < f (x 2)

< - >

x²-3

<

(x+1)²

- 3 | + 3

< - >

x²

<

x²+2x+1
Die Vermutung ist Wahr .

Bin nur nicht zufrieden mit der Beweisführung, sieht für mich irgendwie falsch aus....
und wie könnte ich das für den zweiten Definitionsbereich machen wo die

x -

werte alle negativ sind

lg

Bummerang

10:30 Uhr, 27.10.2014

Hallo,

also Deiner Beweisführung kann ich echt nicht folgen, auch gehen mir da die

x_{1}

und

x_{2}

verloren. Aber auch ledum hat einen Fehler, denn wenn

x_{2} - x_{1} > 0

und

x_{1} + x_{2} > 0,

dann ist

(x_{1} - x_{2}) \cdot (x_{1} + x_{2}) < 0

und nicht größer!

H4x9r aktiv_icon

10:39 Uhr, 27.10.2014

Hallo Bummerang

Hast du vlt eine Idee wie ich es Stattdessen machen könnte ?
Hab da überhaupt kein Plan von , da wir bis jetzt nur mit Vollständiger Induktion bewiesen haben und auch keine Ungleichungen...

Bummerang

10:59 Uhr, 27.10.2014

Hallo,

im Prinzip wie es ledum zeigt, nur darf man halt nicht

(x_{1} - x_{2})

verwenden. Msn muss halt bei

(x_{2} - x_{1})

bleiben!

H4x9r aktiv_icon

11:12 Uhr, 27.10.2014

Also schreibe ich dann :

x 1 < x 2 \Rightarrow f (x 1) < f (x 2)

\Leftrightarrow x 2 - x 1 > 0 \Rightarrow

(x2²

- 3) -

(x1²

- 3) > 0 \Leftrightarrow

x2²

>

x1² ?

Bummerang

11:58 Uhr, 27.10.2014

Hallo,

ist

m . E

. so nicht gsnz sauber, besser wäre es so:

0 < x_{1} < x_{2}

\Rightarrow 0 < x_{2} - x_{1}

und

0 < x_{2} + x_{1}

\Rightarrow 0 < (x_{2} - x_{1}) \cdot (x_{2} + x_{1}) = x_{2}^{2} - x_{1}^{2}

\Rightarrow x_{1}^{2} < x_{2}^{2}

\Rightarrow x_{1}^{2} - 3 < x_{2}^{2} - 3

\Rightarrow f (x_{1}) < f (x_{2})

H4x9r aktiv_icon

12:05 Uhr, 27.10.2014

Herzlichen Dank Bummerang

!!

Nun weis ich wie ich bei sowas vorgehen kann

=)

hast super geholfen !

gruß

h 4 x 9 r

ledum aktiv_icon

12:06 Uhr, 27.10.2014

Hallo
1. wenn gilt

f (x_{1}) < f (x_{2})

dann folgt

f (x_{1}) - a < f (x_{2}) - a, a

beliebig.
also musst du nur zeigen

f (x) = x^{2}

ist monoton für

x > 0

dann folgt aus

x_{2} - x_{1} > 0

und

x_{2} + x_{1}) > 0 : (x_{2} + x_{1}) \cdot (x_{2} - x_{1}) > 0

direkt

x_{2}^{2} - x_{1}^{2} > 0

also die Behauptung)
(ich hatte mich mit den Indices verschrieben)
meistens zeigt man besser statt

f (x_{2}) > f (x_{1})

die Ungleichung

f (x_{2}) - f (x_{1}) > 0

jetzt zeige dass

f (x)

für

x < 0

auch monoton ist.
Gruß ledum

Lasterwagen aktiv_icon

12:39 Uhr, 27.10.2014

Ich finde es ziemlich unangebracht, dass du dich nicht bei ledum bedankst, sondern nur bei Bummerang. Sie hat dir eigentlich genau den gleichen Tipp gegeben wie er. Wenn du dann halt nicht in der Lage bist (x_1-x_2)(x_1+x_2) auszumultiplizieren ist das doch nicht ihre Schuld. Das kann man an einer Hochschule schon erwarten..

Bummerang

12:53 Uhr, 27.10.2014

Hallo Lasterwagen,

ich gehe davon aus, dass Du neu hier bist, denn so etwas ist hier der Normalfall und und sozusagen jedem hier schon passiert. Ich bin aber jedes Mal froh, wenn Fragesteller sich hier überhaupt bedanken, bei wem auch immer...

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