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Nullstellen von Polynomfunktion 4. Grades berechne

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: polynom, Polynomfunktion, Polynomfunktion 4. Grades

montarenbici aktiv_icon

18:30 Uhr, 07.05.2017

Ich habe folgende Polynomfunktion 4. Grades gegeben:

6 x^{4} + x^{3} - 27 x^{2} - 2 x + 30

und soll die Nullstellen davon berechnen. Mir ist es jedoch schleierhaft, wie dies gehen soll, schließlich kann ich da nichts ausklammern.

Danke für Eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Polynomdivision
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung
Tangente / Steigung

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18:35 Uhr, 07.05.2017

Polynomdivision, 1.Nullstelle raten. :-)

Roman-22

19:05 Uhr, 07.05.2017

>

Polynomdivision, 1.Nullstelle raten. :-)
Na, dann viel Spaß!
Es gibt da keine ganzzahlige Nullstelle!

Man kann natürlich 6 ausklammern, hat dann das freie Glied 5 und kann sein Glück mit

\pm 1

und

\pm 5

versuchen, bzw. auch mit diesen 4 Werten geteilt durch die Teiler von 6 (also noch

2,3

und

6)

. Je nachdem in welcher Reihenfolge man diese

16

Werte durchprobiert, kommt man früher oder später auf die Lösung

x = - \frac{5}{3}

.
Nach der Polynomdivision steht man dann erst recht vor einer kubischen Gleichung und wird, um sich Cardano zu ersparen, wieder probieren.

Ein andere Ansatz ist, auf gut Glück(!?) und der naiven Hoffnung auf Erfolg versuchen trickreich auszuklammern.

6 x^{4} + x^{3} - 27 x^{2} - 2 x + 30 = (6 x^{6} - 27 x^{2} + 30) + (x^{3} - 2 x) = (⋆)

Die erste Klammer als biquadratische Gleichung gelöst, in der zweiten Klammer

x

ausgeklammert liefert dann

(⋆) = (x^{2} - 2) \cdot (6 x^{2} - 15) + x \cdot (x^{2} - 2) = (x^{2} - 2) \cdot (6 x^{2} + x - 15)

und die Nullstellen des letzten Terms sind dann ja leicht zu bestimmen.

Bummerang

14:59 Uhr, 08.05.2017

Hallo,

nachdem man die Teiler der

30

alle erfolglos durchprobiert hat, kann man auch ohne trickreiches Ausklammern (bei dem man wegen des Tricks schon fast vorher die Lösung kennen muss) probieren, ob es nicht zwei Nullstellen gibt, die symmetrisch zum Ursprung sind,

d . h

. die Nullstellen

- a

und

a

. Damit kann man

z . B

. wie folgt ansetzen:

6 \cdot x^{4} + x^{3} - 27 \cdot x^{2} - 2 \cdot x + 30 = (x^{2} - a^{2}) \cdot (6 \cdot x^{2} + b \cdot x + c)

6 \cdot x^{4} + x^{3} - 27 \cdot x^{2} - 2 \cdot x + 30 = 6 \cdot x^{4} + b \cdot x^{3} + c \cdot x^{2} - 6 \cdot a^{2} \cdot x^{2} - a^{2} \cdot b \cdot x - a^{2} \cdot c

6 \cdot x^{4} + x^{3} - 27 \cdot x^{2} - 2 \cdot x + 30 = 6 \cdot x^{4} + b \cdot x^{3} - (6 \cdot a^{2} - c) \cdot x^{2} - (a^{2} \cdot b) \cdot x + (- a^{2} \cdot c)

Durch Koeffizientenvergleich erhält man:

x^{3} : b = 1

x : a^{2} \cdot b = 2 \Leftrightarrow a^{2} \cdot 1 = a^{2} = 2

x^{2} 6 \cdot a^{2} - c = 27 \Leftrightarrow 6 \cdot 2 - c = 27 \Leftrightarrow 12 - c = 27 \Leftrightarrow - c = 15 \Leftrightarrow c = - 15

Kontrolle, ob das Gleichungssystem auch wirklich aufgeht:

- a^{2} \cdot c = 30

- 2 \cdot (- 15) = 30

30 = 30

wahre Aussage

Damit ergibt sich:

6 \cdot x^{4} + x^{3} - 27 \cdot x^{2} - 2 \cdot x + 30 = (x^{2} - 2) \cdot (6 \cdot x^{2} + 1 \cdot x + (- 15))

6 \cdot x^{4} + x^{3} - 27 \cdot x^{2} - 2 \cdot x + 30 = (x^{2} - 2) \cdot (6 \cdot x^{2} + x - 15)

Das ist etwas aufwändiger, aber es wird keinerlei Trick benötigt, nur die Hoffnung, dass es wenigstens zwei Nullstellen gibt, die symmetrisch um den Nullpunkt liegen.

Als Lösungen ergeben sich dann:

x_{1,2} = \pm \sqrt{2}

x_{1} = - \sqrt{2}

x_{2} = \sqrt{2}

x_{3,4} = - \frac{1}{12} \pm \sqrt{\frac{1}{144} + \frac{5}{2}} = - \frac{1}{12} \pm \sqrt{\frac{1}{144} + \frac{360}{144}} = - \frac{1}{12} \pm \sqrt{\frac{361}{144}} = - \frac{1}{12} \pm \frac{19}{12}

x_{3} = - \frac{1}{12} - \frac{19}{12} = - \frac{20}{12} = - \frac{5}{3}

x_{4} = - \frac{1}{12} + \frac{19}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}

sm1kb aktiv_icon

15:51 Uhr, 08.05.2017

Hallo montarenbici,
zwei Nullstellen durch Probieren finden:

x_{1} = - 5 / 3

und

x_{2} = 3 / 2

.
Damit geht die Polynomdivision. Den Rest liefert die

p, q

-Formel.
Gruß von sm1kb

Bummerang

11:34 Uhr, 10.05.2017

Hallo sm1kb,

"zwei Nullstellen durch Probieren finden"

Probieren im Reich der rationalen Zahlen? Du hast einen goldigen Humor!

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