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Packungsproblem
Universität / Fachhochschule
Tags: Kreis, Rechteck, Stückzahl
 
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Hallo zusammen, ich suche nach einer Lösung für das folgende Problem: Ich habe eine konstante Kreisfläche ( Ø . In diesen Kreis möchte ich Rechtecke packen. Immer nur eine bestimmte Größe, keine verschiedenen Größen. Sie dürfen aber nur in einer Position (senkrecht) und mit einem jeweiligen Abstand von mm (von Rechteck zu Rechteck) , wie im Bild zu sehen ist, eingefügt sein. Im Beispiel Bild passen Rechtecke in ein Viertel, also Rechtecke in den Kreis. Da ich viele verschiedene Größen von Rechtecken habe, suche ich jetzt nach einer Formel oder Algorithmus mit dem ich schnell berechnen kann, wie viel Rechtecke einer bestimmten Größe in den Kreis passen.. Das ganze würde ich gerne in Excel darstellen. Am besten so, dass man einfach nur die Höhe und Breite vom Rechteck eintippen muss und dann die mögliche Stückzahl automatisch ausgeben wird. Hat jemand eine Idee? ;-)  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff) Kreis (Mathematischer Grundbegriff) Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hi, ich habe noch ein paar Fragen: Sollen die Rechtecke immer neben der - bzw. -Achse plaziert werden (mit einem bestimmten Abstand) oder können sie auch auf den Achsen stehen? Soll auch ein bestimmter Abstand zum Kreisrand eingehalten werden? Gruß Sina |
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...hab's als Excel mit Formeln fertig... Excel gibt mir allerdings in der obersten Reihe 4 Rechtecke aus. Das liegt daran, das ich links und unten vom Viertelkreis nur 5 Einheiten Lücke gelassen hab'. Es kommen ja dann noch jeweils wieder 5 auf der gespiegelten Seite zu. Wenn du's brauchst, kann ich dir die Excel mailen. ...bis dann... ;-) |
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@Sina ja, die Rechtecke sollten genauso wie in dem Bild platziert werden. Zum Kreisrand muss kein bestimmter Abstand eingehalten werden. Die Rechtecke dürfen nur nicht überstehen. Falls du aber eine Lösung hättest in der die Rechtecke auch auf den Achsen stehen, wäre ich auch schon froh darum. Danke dir. @Eddi hab dir grad mal eine PN mit meiner Mailadresse geschickt. Würde mich freune wenn du mir die Excel Datei zuschickst. Vielen Dank für deine Mühe ;-) |
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Hallo cabomba, "Falls du aber eine Lösung hättest in der die Rechtecke auch auf den Achsen stehen, wäre ich auch schon froh drum" Ich glaube ehrlich gesagt, dass die Anordnung, so wie sie bisher geplant ist, nicht in jedem Fall die optimale ist, d.h., dass bei Anordnung auf der Achse (je nach dem wie groß die Schachteln sind), der Platz manchmal besser genutzt werden kann als bei starrer Anordnung wie nach dem Schaubild... Ich hätte wahrscheinlich eine Lösung, aber ich glaub Eddi kam mir schon zuvor :-) |
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@Eddi danke, hab die Datei erhalten. versteh aber nicht wie du es berechnet hast? Eigentlich müssten Stück pro Viertel rauskommen. Die Zeichnung ist mit einem CAD Programm gefertigt. @Sina wäre nett wenn du mir deine Lösung nennst. |
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Hm, gut, das mit dem keinen Abstand zum Kreisrand machts etwas komplizierter... Ich berechne die Anzahl der Packungen, die ich in einen Viertelkreis stellen kann. Dabei umrande ich jede Packung mit einen Rand von 5mm auf jeder Seite (dann haben zwei Packungen immer den Abstand 10mm). Sei jetzt die Breite und die Höhe eines Paketes. Ich orientiere mich zunächst an der unteren rechten Kante eines Paketes. Nun stelle ich die Pakete über der x-Achse nebeneinander auf. Über jedem Paket bildet sich eine Spalte und diese hat eine Minimalhöhe von , wobei die jeweilige Spaltennummer bezeichnet. Die hab ich da reingeschoben, da ich keinen Abstand zum Kreis halten muss und somit die Höhe DIREKT am letzten Paket (ohne Sicherheitsabstand in x-Richtung) berechne. Die dahinter kommen hinzu, weil ich die Höhe der Spalte um 5mm (Sicherheitsabstand des obersten Paketes in y-Richtung) verlänger. Nun will ich wissen, wieviele Pakete dort hineinpassen. Also: Allerdings wird hier wohl keine glatte Zahl rauskommen, daher modifizieren wir noch einmal: , wobei das abrunden auf die nächstkleinere natürliche Zahl (einschl. 0) meint. ist also die Anzahl der Schachteln in der -ten Spalte. Damit wäre die Gesamtzahl der Schachteln im Viertelkreis , wobei die Anzahl der Spalten ist, und die erhalten wir durch , auch hier wurde zu den wieder gerechnet, da der Sicherheitsabstand bei der äußersten Schachtel (ganz rechts) missachtet werden kann. Und auch hier muss auch wieder abgerundet werden... Also setzen wir ein: Und das wäre meine Lösung. Ich habe leider keine Möglichkeit das nachzuvollziehen... Edit: Äh, nachvollziehen ja, aber nicht zu verifizieren :-) Außerdem muss da noch ein Faktor 4 davor, da wir ja 4 Viertelkreise haben... |
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Vielen Dank schon mal. Ich versuche deine Lösung morgen nachzuvollziehen und melde mich dann wieder. Hab heute leider keine Zeit mehr. Gruß |
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Hallo Sina, ich hab das jetzt mal durchgerechnet mit xp=30 und yp=75 wie im Bsp.! Für die Summe bekomme ich heraus. Also nach der Zeichnung 1 zu viel. Es liegt daran das bei die Summe ist. Eigentlich müsste sie nach der Zeichnung unter 5 liegen. Deswegen kommt ein Rechteck zu viel raus. Wie gesagt, die Zeichnung ist maßstabsgerecht mit einem CAD-Programm gezeichnet worden. Aber vielleicht ist ja deine Rechnung sogar noch genauer ;-) Also ich hab fast alles verstanden, außer wie du auf die Berechnung der Minimalhöhe kommst. Wie bist du darauf gekommen das ganze in eine Wurzel zu packen und Teile darin zu quadrieren? Mir ist auch nicht ganz klar wieso du in der Wurzel die 5 subtrahierst und dann nach der Wurzel die 5 wieder dazu addierst? Vielen Dank schonmal. Finde die Lösung gut. Und sie scheint mir auch richtig zu sein. Grüße |
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...Hallo cabomba, wie bereits gesagt, meine Tabelle rechnet mit einer Lücke von 5 Einheiten links und unten am Viertelkreis. Es kommen dann ja wieder 5 Einheiten auf dem linken oder unteren Viertelkreis dazu...so hast du jedesmal eine Abstand von Einheiten sowohl in der Höhe, als auch in der Breite. Somit passen in der obersten Reihe des rechten Viertelkreises noch 4 Rechtecke rein. Bei dir sinds nur da du ja in der Mitte jeweils Einheiten Abstand hast und deine Rechtecke auch noch 5 Einheiten höher liegen. Du kannst ja mal alle Zeile und Spalten einblenden, dann siehst du auch die einzelnen Ergebnisse für alle Reihen des Viertelkreises. Viekle Grüße |
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Danke dir Eddi. Hab jetzt versucht alle Zeilen und Spalten einzublenden. Außer Spalte A und seh ich jetzt alle. (Wieso sehe ich eigentlich A und nicht?) Das Programm rechnet jedenfalls richtig. Ich kenn mich nur leider nicht so gut mit diesen "WENN"-Formel aus und kann das jetzt alles nur sehr schwer nachvollziehen. Ich muss das irgendwie selber machen, da ich die Berechnung auch erklären können muss. |
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...wahrscheinlich reicht deine Markierung nicht über A und Wenn du's nicht mit der Maus gegriffen kriegst, dann zieh' die Spalten breiter, indem du mit der Maus gaaanz links oben in Feld gehst, dann wird dein Pfeil zu zwei senkrechten Strichen mit Pfeilen dran, und du kannst und dann A auseinanderziehen. Die "WENN"-Funktion ist kinderleicht: In Zelle steht beispielsweise: =WENN($D7="";"";WENN(F$3<=$D7;1;0)) "Wenn" Zelleninhalt in "D7" = "leer" ;(dann) "leer";(ansonsten) mach folgendes: Also, wenn in nix drinnsteht, dann schreibt er auch nix in die Zelle (zB. wie in Zeile ansonsten macht er folgendes: (und hier kommt wieder eine "WENN"-Funktion) WENN(F$3<=$D7;1;0) "wenn" kleiner/gleich ;(dann) schreibe eine in die Zelle;(sonst) lass die Zelle leer und in steht die Gesamtbreite für die Rechtecke einschl. Lücken für 1 Rechteck für 2 Rechtecke usw. In ist die zur Verfügung stehende Breite in Höhe hinterlegt. In die der 2. Reihe (also bis Höhe usw. Mittels der Wenn-Funktion wird also immer eine in die Zelle geschrieben, solange die Rechhtecke noch in der Breite reinpassen. Dies ist in der 1. Reihe (Zeile bis zum . Rechteck möglich. Die Summe aller 1-en wird in Spalte BE zusammengezählt. So auch für ale anderen Reihen. Die Summe aller Rechtecke berechne ich in dort wird die Summe der Spalte BE mal 4 genommen. Das war's eigentlich schon. ;-) |
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Danke. Wenn du mir jetzt die Berechnung in Zelle erklärst mach ich einen Luftsprung ;-) Ich meine vor allem die Formel "Istfehler" ! "Wenn" kapier ich jetzt einigermaßen. Grüße |
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Die Rechtecke haben ja folgende Oberkanten: in Spalte A steht die Reihe und in Spalte die zu berücksichtigen Lücken bis Oberkante der Rechtecke in der jeweiligen Reihe. Also Oberkante Rechteck 1. Reihe Oberkante 2. Reihe: Oberkante 3. Reihe: mittels "A7*$D$2+B7" wird folgendes berechnet: A7=Reihe (1) D2=Höhe Rechteck B7=berücksichtigte Lücken (5) somit ergibt: "A7*$D$2+B7" also dies ist die Oberkante der 1. Reihe. Jetzt wird in dieser Höhe die . Breite über den Pythagoras errechnet, da ja der Radius ("D1/2") bekannt ist. Als Excel-Formel hab' ich dann: WURZEL(($D$1/2)^2-(A7*$D$2+B7)^2) jetzt noch die 5 vom Rand links abziehen: WURZEL(($D$1/2)^2-(A7*$D$2+B7)^2)-5 Dies ist der Term für die verfügbare Breite in Reihe 1 Da diese Formel ab der 6. Reihe einen Fehler ausgibt (negativer Radikant) hab' ich die ISTFEHLER-Funktion eingebaut. ISTFEHLER gibt beim Fehler den Wert "WAHR" aus und wenn kein Fehler da ist den Wert "FALSCH". Mit einer WENN-Funktion kann ich den ISTFEHLER dazu nutzen, bei einem Fehler was zu tun, oder auch sein zu lassen. Beispiel: Zelle enthält folgende Formel: =wurzel(-3) Excel gibt daraufhin einen Fehlerwert aus: #ZAHL! Jetzt kann mann . in schreiben: =istfehler(A1) da in ein Fehlerwert steht, gibt die Formel "WAHR" aus. Dies kann ich für eine Wenn-Bedingung nutzen: Schreibe in =wenn(istfehler(A1);"Fehler";"kein Fehler") Diese Wenn-Funktion macht folgendes: Wenn "Fehler in A1",dann schreibe Text "Fehler", sonst schreibe Text "kein Fehler" genauso hab' ichs auch gemacht, statt "WURZEL(($D$1/2)^2-(A7*$D$2+B7)^2)-5" schreib ich mal =WENN(ISTFEHLER(WURZEL(($D$1/2)^2-(A7*$D$2+B7)^2)-5);"";WURZEL(($D$1/2)^2-(A7*$D$2+B7)^2)-5) heißt dann: =WENN(ISTFEHLER(X);"";X) ...und das heißt nix weiter wie: wenn Fehler in Wurzel, dann schreib nix in die Zelle, sonst den Wurzelwert. Damit steht also in die zur Verfügung stehende Breite für die jeweilige Reihe drin. Viel Grüße... ;-) |
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Vielen Vielen Dank Eddi. Spitzenmäßig erklärt. Bin es jetzt mal grob durchgegangen und kapier das meiste jetzt. Werde mich aber morgen nochmal intensiv damit beschäftigen, hab heute leider keine Zeit mehr. Melde mich dann nochmal. Ist ja Wahnsinn wie du das gestern so schnell hinbekommen hast. Oder hast da schon was geeignetes gehabt in Excel? |
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Hi Eddi, bin es jetzt nochmal durchgegangen und kapier jetzt alles. Also nochmals vielen Dank dafür. Eine Kleinigkeit muss ich dann aber noch ab ändern. Und das hatte ich bei der Aufgabenstellung vergessen zu sagen. Der Abstand zur Mittellinie muss wie in der Zeichnung zu sehen tatsächlich immer 10mm sein. Also müsste ich dann bei den fortgezählten Abständen in Spalte statt: . einfach mit anfangen, also: . Viele Grüße |
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...also die in der Breite änderst du in Zeile 2 (statt wird's etc.)
...die Werte in Spalte (sind ja die Gleichen) sind für die Höhe!!! ;-) |
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Die Excel Datei würde ich mir sehr gerne auch mal anschauen. Meinst du du könntest Sie mir auch mal zusenden? Vielen Dank... |
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. guckst du bei deinen Nachrichten! ;-) |
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Wenn ich deine Ausführungen bisher richtig verstanden habe, möchtest du jeden Viertelkreis getrennt behandelt wissen. Es ist also nicht zulässig, dass ein Rechteck die Viertelkreisgrenzen überschreitet. Das meinte Sina86 wohl als sie anmerkte, dass deine Anordnung nicht immer die optimale Packung ist, wenn man den gesamten Kreis betrachtet. Außerdem scheint es, als ob der Abstand der Rechtecke voneinander auch der Abstand der Rechtecke von den beiden, die Viertelkreise begrenzenden Durchmessern sein soll (der Abstand vom waagrechten Durchmesser ist in deiner Zeichnung nicht bemaßt). Die Rechtecke in unterschiedlichen Viertelkreisen, die entlang dieser Durchmesser liegen hätten dann den doppelten Abstand voneinander. Unter der Voraussetzung, dass die obigen Annahmen zutreffen, kann man die Rechteckanzahl recht leicht berechnen und die Formel aus meinem Screenshot sollten sich auch recht einfach in eine Excel-Tabelle gießen lassen, wenngleich ich Excel für mathematisch-technische Anwendungen für höchst ungeeignet halte.  |
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