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Polynomfunktion 4 Grades

Schüler Kaufmännische mittlere u. höhere Schulen, 5. Klassenstufe

Tags: Polynomfunktion, Ursprung, Wendepunkt

Desiree123 aktiv_icon

10:54 Uhr, 23.02.2017

Der Graph einer polynomfunktion 4. Grades berührt die

x

Achse an der Stelle

x = 2

und hat im Ursprung einen Wendepunkt mit der zugehörigen wendetangente
tw:

3 x + y = 0

Gleichung dieser Funktion?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Krümmungsverhalten
Polynomdivision

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

wormi aktiv_icon

11:02 Uhr, 23.02.2017

Ansatz?

Desiree123 aktiv_icon

11:08 Uhr, 23.02.2017

3 x + y = 0

y = - 3 x

Also muss die Funktion 4. Grades hinten

- 3 x

haben.

W 1 (0 | 0)

und

N (2 | 0)

supporter aktiv_icon

11:15 Uhr, 23.02.2017

f (2) = 0

f' (2) = 0

f (0) = 0

f'' (0) = 0

f' (0) = - 3

wormi aktiv_icon

11:16 Uhr, 23.02.2017

"Also muss die Funktion 4. Grades hinten

- 3 x

haben."
Wie kommst du darauf?

Welche Bedingungen ergeben sich aus der Lage des Wendepunktes und der Nullstelle?

Gibt es weitere Eigenschaften des Graphen?

Respon

11:45 Uhr, 23.02.2017

Sei

f (x) = a \cdot x^{4} + b \cdot x^{3} + c \cdot x^{2} + d \cdot x + e

Aus der Interpretation der Angaben ( siehe supporter ) ergibt sich sofort

e = 0

c = 0

d = - 3

Also:

\Rightarrow f (x) = a \cdot x^{4} + b \cdot x^{3} - 3 \cdot x

Es fehlt also nur mehr a und

b

Desiree123 aktiv_icon

12:44 Uhr, 23.02.2017

f (x) =

ax hoch

4 +

bx hoch

3 - 3 x

f (2) = 16 a + 8 b - 6

f´(x)

= 4 a x

hoch

3 + 3 b x

hoch

2 - 3

f´=

32 a - 12 b - 3

a = - \frac{3}{4}

b = \frac{9}{4}

f (x) = - \frac{3}{4} x

hoch

4 + \frac{9}{4} x

hoch

3 - 3 x

Wie erkenne ich dass

c

wegfällt ?

Respon

12:48 Uhr, 23.02.2017

Wendepunkt im Ursprung

f'' (0) = 0

Bummerang

14:03 Uhr, 23.02.2017

Hallo,

eine etwas andere Herangehensweise:

Durch die Berührung an der Stelle

x = 2

und die Angabe, dass der Graph durch den Ursprung geht, sind bereits 3 der maximal 4 reellen Nullstellen bekannt. Da nichtreelle Nullstellen immer als Paare von konjugiert komplexen Nullstellen auftreten, muss die letzte Nullstelle auch reell sein. Sei diese

x_{0},

dann kann man für den Funktionsterm ansetzen:

f (x) = a \cdot (x - x_{0}) \cdot {(x - 2)}^{2} \cdot (x - 0)

f (x) = a \cdot (x - x_{0}) \cdot (x^{3} - 4 \cdot x^{2} + 4 \cdot x)

f (x) = a \cdot (x^{4} - 4 \cdot x^{3} + 4 \cdot x^{2} - x_{0} \cdot x^{3} + 4 \cdot x_{0} \cdot x^{2} - 4 \cdot x_{0} \cdot x)

f (x) = a \cdot (x^{4} - (4 + x_{0}) \cdot x^{3} + (4 + 4 \cdot x_{0}) \cdot x^{2} - 4 \cdot x_{0} \cdot x)

f' (x) = a \cdot (4 \cdot x^{3} - (12 + 3 \cdot x_{0}) \cdot x^{2} + (8 + 8 \cdot x_{0}) \cdot x - 4 \cdot x_{0})

f' (0) = - 3 = a \cdot (4 \cdot 0^{3} - (12 + 3 \cdot x_{0}) \cdot 0^{2} + (8 + 8 \cdot x_{0}) \cdot 0 - 4 \cdot x_{0}) = - 4 \cdot a \cdot x_{0}

f'' (0) = 0 = a \cdot (12 \cdot 0^{2} - (24 + 6 \cdot x_{0}) \cdot 0 + (8 + 8 \cdot x_{0})) = 8 + 8 \cdot x_{0}

Bleibt als zu lösendes Gleichungssystem:

8 \cdot x_{0} = - 8 \Rightarrow x_{0} = - 1

4 \cdot a \cdot x_{0} = 3 \Rightarrow 4 \cdot a \cdot (- 1) = 3 \Rightarrow a = - \frac{3}{4}

\Rightarrow f (x) = (- \frac{3}{4}) \cdot (x^{4} - (4 + (- 1)) \cdot x^{3} + (4 + 4 \cdot (- 1)) \cdot x^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot x)

f (x) = (- \frac{3}{4}) \cdot (x^{4} - 3 \cdot x^{3} + 4 \cdot x)

f (x) = - \frac{3}{4} \cdot x^{4} + \frac{9}{4} \cdot x^{3} - 3 \cdot x

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