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Proportionen von Seiten und Winkeln im Dreieck
Schüler
Tags: Dreieck, proportion, seit, Winkel
 
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Hallo, ich habe folgende Frage: Wie hängen die Proportionen der Seiten ein einem Dreieck mit den Winkeln zusammen? Wenn ich beispielsweise ein pythagoreisches Dreieck mit und 5 cm Seitenlänge habe, wie tauchen die Proportionen der Seiten zu zu zu dann in den Winkeln auf? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Definition von Sinus, Kosinus und Tangens Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks Flächeninhalte Sinus und Kosinus für beliebige Winkel |
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Antwort auf diese Frage liefert der Sinus-Satz, welcher für allgemeine Dreiecke gilt, nicht nur für rechtwinkelige: In deinem Beispiel taucht also etwa das Verhältnis als wieder auf, was sich wegen zu vereinfachen lässt. |
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O.k.,Danke. Das haben die Kinder aber noch nicht in der Schule. Die Information sind drei Winkel und eine Seitenlänge. Wie löst man das ohne Sinus-Satz? |
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Dan verrate doch mal die komplette Aufgabenstellung. Soll es sich, wie das Beispiel in deinem Eingangspost, um ein rechtwinkeliges Dreieck handeln? Grundsätzlich ist anzumerken, dass bei einem Dreieck nicht alle drei Winkel beliebig vorgegeben werden können. Die Kenntnis von zwei Winkeln reicht, um den dritten eindeutig zu bestimmen. |
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Hier ist das Foto aus dem Buch. |
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Nun, das wäre an sich ein typisches "Anwendungs"beispiel für den Sinussatz, um damit die Geschwindigkeit von knapp km/h (etwas mehr als Knoten) zu ermitteln. Ich würde also nochmals überprüfen, ob der Sinussatz nicht doch schon in irgend einer Form Unterrichtsstoff war. Falls der tatsächlich noch nicht zu Verfügung steht sehe ich zB drei Möglichkeiten, die Distanz km, die das Schiff in der halben Stunde zurücklegt, zu ermitteln: Anfertigen einer maßstabsgetreuen Zeichnung und abmessen So ein Sinus-Satz fällt nicht aus heiterem Himmel, sondern kann hergeleitet werden. ZB indem man das allgemeine Dreieck in zwei rechtwinkelige zerlegt, aus beiden Dreiecken einen Ausdruck für die gemeinsame Seite (Höhe des Ausgangsdreiecks) aufstellt und gleichsetzt. Das könnte man nun konkret auch für diese Aufgabe nachstellen, also die Aufgabe über eine Hilfsvariable, die eliminiert wird, durch Zerlegung in rechtwinkelige Dreiecken lösen. Was man dabei aber trotzdem schon wissen müsste ist, dass der Sinus eine Winkels im rechtwinkeligen Dreieck das Verhältnis seiner Gegenkathete zur Hypotenuse ist. Sind die Eckpunkte des Dreieck (Leuchtturm), (Schiff in der Ausgangsposition) und (Schiff nach Minuten), dann sind die zugehörigen Winkel und . Zerlegen wir nun das Dreieck durch die Höhe durch dne Punkt in zwei rechtwinkelige Dreiecke. Dann lässt sich aus dem Dreieck, das enthält die Höhe mit berechnen und aus dem zweiten Dreieck folgt und ist ja mittlerweile bekannt. Man kann die Aufgabe auch mit den Mittel der analytischen Geometrie erschlagen. Koordinatensystem passend wählen, Gleichungen der Geraden und aufstellen, Schnittpunkt berechnen und dann mittels Pythagoras die Distanz . Es führen oft viele Wege zum Ziel und welcher zu wählen ist, das hängt davon ab, welche mathematischen Pfeile man schon im Köcher hat und in welchem Unterrichtskontext die Aufgabe eingebettet ist. |
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Aufgrund der Skizze kann ich ja alle Winkel bestimmen. Wenn ich . die Seite cm habe, kenne die Winkel und gibt es dann kein leichteres Verfahren als Sinus-Sätze, die anderen Längen zu ermitteln? Wenn nicht, würde an der Stelle die Aufgabe in den Lehrbüchern keinen Sinn machen (was leider häufig vorkommt). |
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Aufgrund der Skizze kann ich ja alle Winkel bestimmen. Das hatten wir doch schon. Das ist klar. Siehe auch meine vorherige Antwort - dort eben mit den passenden Bezeichnungen und . gibt es dann kein leichteres Verfahren als Sinus-Sätze, die anderen Längen zu ermitteln? Ich hab dir doch gerade drei Verfahren genannt, welche ohne den Sinussatz auskommen. Zeichnen und abmessen Zerlegung in rechtwinkelige Dreiecke Analytische Geometrie Wenn nicht, würde an der Stelle die Aufgabe in den Lehrbüchern keinen Sinn machen (was leider häufig vorkommt). Ohne zu wissen, welche "Stelle" das denn ist, kann man dazu keine Aussage machen. Du gibst ja nicht an, um welche Schulstufe es sich handelt, welche Kenntnisse schon vorausgesetzt werden dürfen und vor allem im Kontext welchen mathematischen Kapitels die Aufgabe gestellt wird. Das von dir beigestellte Bild, welches kaum entzifferbar ist, gibt darüber ja keinen Aufschluss. Aber selbst wenn Winkelfunktionen noch nicht bekannt sein sollten, müsste Verfahren 1 (Zeichnen und abmessen) schon durchführbar sein, oder? |
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Vielen Dank für Deine Mühe! |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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