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Radius des Inkreises eines Viertelkreises

Schüler Gymnasium,

Tags: Geometrie, Kreis, Radius ausrechnen, Verhältnis

Geeee aktiv_icon

19:51 Uhr, 24.10.2016

Hallo Forum,

ich wollte wissen, wie der Radius des Inkreises eines Viertelkreises (also der größtmögliche Kreisder reinpasst) im Verhältnis zum Radius des Viertelkreises steht. Ich hoffe ihr versteht die Frage. Eine Herleitung wäre ideal.

Grüße!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Kreis und Mittelsenkrechte
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
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Thaleskreis, Umkreis, Inkreis und Lage von Kreis und Gerade

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und was bringt sie mir?

Femat aktiv_icon

21:04 Uhr, 24.10.2016

Vielleicht hilft dir das

Geeee aktiv_icon

22:44 Uhr, 24.10.2016

Danke für die Skizze.
Ich versteh nur nicht wie man auf den ersten Schritt kommt. Also die erste Gleichung.
Ich studiere übrigens nicht, nur um klarzustellen, dass ich noch kein so gutes geometrisches Verständnis habe.

Respon

23:17 Uhr, 24.10.2016

Einigen wir uns vorerst auf eine logische Bezeichnung:
Radus des Viertelkreises ( da größer

) : R

Radius des eingeschriebenen Kreises ( da kleiner

) : r

\Rightarrow

Die Diagonale eines Quadrates ist

\sqrt{2} \cdot

Quadratseite.

r \cdot \sqrt{2} + r = R

(

in der Zeichnung sind die beiden Bezeichnungen vertauscht )

r \cdot (\sqrt{2} + 1) = R

\frac{R}{r} = \sqrt{2} + 1

rundblick aktiv_icon

00:19 Uhr, 25.10.2016

.
"Ich versteh nur nicht wie man auf den ersten Schritt kommt."

Achtung: ich verwende die Bezeichnungen

R

und

r

wie Respon

\to

\to

den ersten Schritt bekommst du,
wenn du überlegst, wo der Mittelpunkt

M

des kleinen Kreises

k (M; r)

liegen muss

\to

\to

k

die

x -

und die

y -

Achse berühren soll,
muss

M

auf der Winkelhalbierenden

y = x

liegen (klar -oder? )

\to

wenn du die Lote von

M

auf die Achsen einzeichnest,
bekommst du das Quadrat mit der Seite

r

und der Diagonalen

\bar{O M} = r \cdot \sqrt{2}

\to

der Berührpunkt

B

von

k

mit dem grossen Kreis

K (O; R)

muss auch auf

y = x

liegen (warum?)
also ist

\bar{O B} = \bar{O M} + \bar{M B}

und damit hast du den ersten Schritt

\to

R = r \cdot \sqrt{2} + r

R = r \cdot (\sqrt{2} + 1)

\Rightarrow R : r = (1 + \sqrt{2}) : 1

ok?
.

Femat aktiv_icon

11:11 Uhr, 25.10.2016

Hier noch etwas farbiger

Atlantik aktiv_icon

10:14 Uhr, 26.10.2016

Alternative:

k : x^{2} + y^{2} = 1

y = x

2 \cdot x^{2} = 1

x = \frac{1}{2} \sqrt{2}

y = \frac{1}{2} \sqrt{2}

{(x - r)}^{2} + {(y - r)}^{2} = r^{2}

{(\frac{1}{2} \sqrt{2} - r)}^{2} + {(\frac{1}{2} \sqrt{2} - r)}^{2} = r^{2}

2 \cdot {(\frac{1}{2} \sqrt{2} - r)}^{2} = r^{2}

1 .) r = \sqrt{2} - 1

2 .) r = \sqrt{2} + 1

k_{1} : {(x - \sqrt{2} + 1)}^{2} + {(y - \sqrt{2} + 1)}^{2} = {(\sqrt{2} - 1)}^{2}

(nicht verlangt): Außenkreis:

k_{2} : {(x - \sqrt{2} - 1)}^{2} + {(y - \sqrt{2} - 1)}^{2} = {(\sqrt{2} + 1)}^{2}

mfG

Atlantik

G r a p h e n :

Atlantik aktiv_icon

17:08 Uhr, 26.10.2016

Eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung des Inkreises habe ich in der Zeichnung dargelegt.

mfG

Atlantik

Atlantik aktiv_icon

10:46 Uhr, 28.10.2016

Oder so:

r^{2} + r^{2} = {(R - r)}^{2}

r^{2} + 2 R r + {(\frac{2 R}{2})}^{2} = R^{2} + R^{2}

{(r + R)}^{2} = 2 R^{2}

r_{1} = - R + R \cdot \sqrt{2}

r_{2} = - R - R \cdot \sqrt{2}

Mit

R = 1

r_{1} = - 1 + 1 \cdot \sqrt{2} \approx 0,414

r_{2} = - 1 - 1 \cdot \sqrt{2} \approx - 2,414 = | - 2,414 | = 2,414

ist nicht verlangt

mfG

Atlantik

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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