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Rekonstruktion von Exponentialfunktionen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Ableiten, e-Funktion, Exponentialfunktion, Rekonstruktion von Funktionen

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Cola99

Cola99 aktiv_icon

14:39 Uhr, 25.02.2016

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Hallo,
Ich habe als Hausaufgabe die Rekonstruktion einer Exponentialfunktion bekommen, jedoch bin ich bei einem Schritt stecken geblieben.
Gegeben ist der Punkt

P (2 | e^{- 1})

und die Steigung im Punkt

P

beträgt 1.
Aus dem Punkt

P

habe ich die Gleichung

: e^{- 1} = a \cdot b^{2}

aufgestellt und aus der Steigung die Gleichung:

1 = a \cdot b^{2} \cdot ln (b)

wenn ich aber nun die erste Gleichung nach a auflöse und sie in die zweite Gleichung einsetze, erhalte ich eine Gleichung, die ich nicht lösen kann:

1 = \frac{e^{- 1}}{b^{2}} \cdot b^{2} \cdot ln (b)

Ich würde mich sehr freuen, wenn jemand über meinen bisherigen Rechenweg drüberschauen könnte, und mir beim Lösen helfen würde.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

Matheboss

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14:51 Uhr, 25.02.2016

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Das kann ich nicht nachvollziehen!
Wie heißt denn Deine allgemeine Exponentialfunktion?

Cola99

Cola99 aktiv_icon

14:54 Uhr, 25.02.2016

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Meine allgemeine Exponentialfunktion lautet:

f (x) = a \cdot b^{x}

Die erste Gleichung kommt so zustande:

f (2) = e^{- 1}

Die 2. Gleichung so: f´(2)=1

Antwort

supporter

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15:01 Uhr, 25.02.2016

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f (x) = a \cdot e^{b \cdot x}

f' (x) = a \cdot b \cdot e^{b \cdot x}

f (2) = e^{- 1}

a \cdot e^{2 b} = e^{- 1}

a \cdot b \cdot e^{2 b} = 1

a \cdot e^{2 b} = \frac{1}{b}

- \to e^{- 1} = \frac{1}{b}

\frac{1}{e} = \frac{1}{b}

b = e

Einsetzen:

. .

.

Antwort

supporter

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15:03 Uhr, 25.02.2016

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Bei deiner Funktion gilt:

f' (x) = a \cdot ln b \cdot b^{x}

Antwort

Matheboss

Matheboss aktiv_icon

15:08 Uhr, 25.02.2016

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1 = \frac{e^{- 1}}{b^{2}} \cdot b^{2} \cdot ln (b)

1 = e^{- 1} \cdot ln (b)

|mal

e^{1}

e^{1} = ln (b)

|jetzt mit Umkehrfunktion von

ln (x)

e^{e} = e^{ln (b)}

e^{e} = b

Kennst Du die e-Funktion? Damit wäre es einfacher.

Edit
Das hat Dir supporter jetzt gezeigt. Ich war etwas langsamer.

Cola99

Cola99 aktiv_icon

15:13 Uhr, 25.02.2016

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Okay Danke, die e-Funktion kenne ich leider noch nicht.
Ich versteh alles bis auf den Schritt mit der Umkehrfunktion. Wie genau funktioniert das?

Antwort

Matheboss

Matheboss aktiv_icon

15:22 Uhr, 25.02.2016

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Der

ln (x)

ist die Umkehrfunktion von

e^{x}

und

e^{x}

ist die Umkehrfunktion von

ln (x)

Die Funktion und ihre Umkehrfunktion heben sich gegenseitig auf.

e^{ln (x)} = x

oder

ln (e^{x}) = x

bei Dir

e = ln (b)

e^{e} = e^{ln (b)}

e^{e} = b

Du brauchst aber bei Deiner Rechnung die e-Funktion, da Du ja schon bei der Ableitung den natürlichen Logarithmus

(ln (x))

verwendest. Sonst kannst Du die Aufgabe nicht lösen, wenn Du das nicht kennst.

Cola99

Cola99 aktiv_icon

15:35 Uhr, 25.02.2016

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Okay, alles klar. Vielen Dank!

Antwort

supporter

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15:58 Uhr, 25.02.2016

Antworten

Bitte noch abhaken. :-)

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