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Rotation um x-und y-Achse

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Induktionörper, Integral, Rotation

vasmer

20:03 Uhr, 31.05.2015

Hi

Der Abschnitt der Parabel

p : y = \frac{1}{8} x^{2}

zwischen den Geraden

g_{1} : x = 0

und

g_{2} : x = 4

rotiert um die x-Achse und um die y-Achse. Bestimme das Verhältnis der Rauminhalte der so entstandenen Körper.

thx

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Stephan4

21:15 Uhr, 31.05.2015

Um die x-Achse:

y = \frac{x^{2}}{8}

V = π \cdot \int_{0}^{4} y^{2} \cdot d x

Um die y-Achse:

8 y = x^{2}

V = π \cdot \int_{0}^{y (4)} x^{2} \cdot d y

vasmer

21:30 Uhr, 31.05.2015

Danke ich erhalte:

Integral von 0 nach 4 für

y^{2} \frac{16}{5}

bei Drehung um die x*Achse.

Bei Drehung um dei y-Achse kann man ja die Umkerhfunktion verwenden also

y = \pm 2 \cdot \sqrt{2 \cdot x}

dabei wird aber nur der Ast

+ 2 \cdot \sqrt{2 \cdot x}

verwendet nun braucht man noch die x-Werte die den Ast begrenzen und dese eregben sich durch gleichsetzen der y-Werte mit dem

y

von

y = \frac{1}{8} x^{2}

und dem auflösen nach

x

. Dabei erhalte ich;

\pm 4 \cdot \sqrt{2}

wieder wird nur der positive wert verwendet und

0 -

Und somit erhalte ich für das Integral von 0 nach

4 \cdot \sqrt{2}

für

{(2 \cdot \sqrt{2 \cdot x})}^{2} = 128

und

\frac{128}{\frac{16}{5}}

ergibt

40

statt den

5

in der Lösung.

Stephan4

21:47 Uhr, 31.05.2015

Die Integrationsgrenzen sind Null und

y (4),

und das ist 2.

Vielleicht liegt es daran.

Roman-22

21:49 Uhr, 31.05.2015

> Integral von 0 nach 4 für y2165 bei Drehung um die x*Achse.
Was ist das für ein Kauderwelsch?

Das Volumen, welches sich bei Rotation des Parabelbogens um die x-Achse ergibt ist

V_{x} = \frac{16 \cdot π}{5}

Möglicherweise hast du das gemeint?

Was das Volumen bei Drehung um die y-Achse anlangt, so wäre es doch vernünftig, einfach die Formel

V_{y} = π \cdot \int_{y_{1}}^{y_{2}} x^{2} d y

zu verwenden.
Wenn du aber unbedingt die Umkehrung verwendet möchtest, damit du wieder um die x-Achse rotieren lassen kannst, dann musst du die Grenzen richtig bestimmen.
Von

y = 2 \cdot \sqrt{2 x}

rotiert ja nun der Bogen im Bereich von

y = 0

und

y = 4

.
Und wie du da auf die Grenze

4 \sqrt{2}

kommst ist mir schleierhaft. Du scheinst da in deinen Überlegungen auch die Original-Funktion und deren Umkehrung zu vermischen.

Generell denke ich, wenn ich mir deine Frageflut hier ansehe, dass du viel zu viele Aufgaben gleichzeitig und parallel zu lösen versuchst und dadurch keiner Aufgabe die Konzentration und Aufmerksamkeit widmen kannst, die sie erfordern würde.

Gruß R

P.S.:

V_{y} = 16 \cdot π

und daher

V_{x} : V_{y} = 1 : 5

vasmer

21:59 Uhr, 31.05.2015

Danke,

warum heisst geht die Formel für

V_{y}

von

y_{1}

nach

y_{2}

und nicht von

x_{1}

nach

x_{2}

?

Und muss man wenn man die Umkeherfunktion statt dieser Formel verwendet(lässt sich die Formel ganz gewähnlich wie wenn man nach

x

integreiren würde mit der Hand integrieren?) für die Grenzen in der die Umkehrfunktion integiert wird immer die x-Werte verwenden statt den y-Werten bei der normalen Funktion und diese x-Werte ergeben sich indem man de x-Werte von der "normalen Funktion" in die Umkehrufunktion einsetzt und nach

x

auflöst.

Roman-22

23:28 Uhr, 31.05.2015

>

warum heisst geht die Formel für Vy von

y 1

nach

y 2

und nicht von

x 1

nach

x 2

?

Na, wenn du über

y

integrierst

(d y),

dann müssen ja wohl die Integralrenzen y-Werte sein.

Und wenn du die Umkehrfunktion verwendest, kommst auf ganz genau die gleiche Rechnung, nur hast du dann eben anstelle von

y

ein

x

stehen. Die Werte und Grenzen sind aber logischerweise ident.

Auch hier hilft es eben, wenn man eine Vorstellung von dem, was man da macht, entwickelt und nicht einfach nur stur irgendwelche Formel anwendet.
Gerade die Formel für das Rotationsvolumen kann man sich ja wunderbar so vorstellen, dass man den Drehkörper mit Schnitten normal zur Drehachse in unendlich viele, aber unendlich dünne (Zylinder)Scheiben schneidet. Alle diese Scheiben aufsummiert (=integriert) ergeben dann das Gesamtvolumen.
Bei Drehung etwa um die y-Achse ist der Radius der Zylinderscheibe einfach der x-Wert des Kurvenpunkts und die Dicke der Scheibe ist

d y

(entsteht aus einem endlichen

Δ y

durch Grenzübergang

Δ y \to 0)

.
Jetzt ist das Volumen einer solchen Elementarscheibe daher

d V = x^{2} \cdot π \cdot d y

und das Gesamtvolumen daher die "Summe"

V = \int_{y_{1}}^{y_{2}} d V = π \cdot \int_{y_{1}}^{y_{2}} x^{2} d y

.

Wenn man diese Vorstellung verinnerlicht, dann muss man sich nicht mehr zwei Formel für die Rotations um

x -

und y-Achse merken und ist auch nicht mehr hilflos, wenn die Rotation etwa um die Gerade

y = 4

erfolgt.

Gruß

R

Stephan4

18:22 Uhr, 01.06.2015

Dazu möchte ich noch hinzufügen:

Wenn Du die Umkehrfunktion bildest, belasse die Bezeichnungen

x

und

y,

nimm keine Umbenennungen oder Vertauschungen der Buchstaben vor.

Dann wird Dir meine Antwort von gestern und auch Romans anschauliche Beschreibung verständlich und klar.

:-)

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