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Satz über Ableitung der Umkehrfunktion

Universität / Fachhochschule

Tags: Diffeomorphismus, offene menge, Umkehrfunktion

 
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Florentine1996

Florentine1996 aktiv_icon

23:33 Uhr, 22.08.2018

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Hallo,
ich würde gerne den Satz von Ableitung der Umkehrfunktion in R und im Rn vergleichen:

in R:
Sei f:D→R
injektiv und in a∈D(a HP von D) diffbar, und sei f-1:f(D)→D∈b=f(a) stetig. Dann ist f-1 genau dann in b diffbar, wenn
f'(a)≠0. In diesem Fall ergibt sich die Ableitung der Umkehrfunktion f
f-1'(b)=1f'(a)

in Rn
. Sei G \subset Rn offen, und
f:G→Rn stetig diffbar. Ist x0∈G,f(x0)=y0
und detJf(x>0) ne 0, dann gibt es offene Umgebungen U=U(x0) \subset G von x0
und V=V(y0) \subset Rn von y0, so dass gilt:
(i) f:U→V ist bijektiv,
(ii) f-1:V→U ist stetig diffbar,
(iii)D f-1(y)=Df(f-1(y)))-1∀y∈V
Was ist der wesentliche Unterschied und wie kriege ich dem Rn den Spezialfall in R?


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

08:46 Uhr, 23.08.2018

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Hallo,


mit dem Vergleichen ist es etwas schwierig. Der erste Satz setzt Injektivität voraus und macht eine "genau-dann-wenn" - Aussage. Der zweite Satz behauptet die (lokale) Injektivität und die Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion in einer Umgebung. Die Umkehrformel gilt auch in dieser Umgebung.

Wesentliche Voraussetzung (neben technischen Voraussetzungen) ist, dass die lineare Abbildung Df(x_0) regulär ist. Das ist im Satz durch die Identifizierung von Df mit der Jacobi-Matrix und der Bedingung, dass ihre Determinante ungleich 0 ist, formuliert. Im Fall ℝ ist das einfach die Bedingung, dass die erste ABleitung ungleich 0 ist.

Gruß pwm
Florentine1996

Florentine1996 aktiv_icon

11:20 Uhr, 23.08.2018

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Danke:-)
Und meine reguläre Matrix ist ja für n=1 nur dann regulär, wenn dessen Eintrag ≠0 ist, also f'(a)≠0. Dann ist es ja egtl der Spezialfall.
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anonymous

anonymous

14:34 Uhr, 23.08.2018

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Ich würd mal behaupten, für die Umkehrung benutzest du das implizite Funktionenteorem . Die allgemeine Formulierung siehe Wiki . Im eindimensionalen Fall wird die Jacobimatrix nur zu einer ( skalaren ) Zahl .
Florentine1996

Florentine1996 aktiv_icon

20:29 Uhr, 24.08.2018

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Wie meinst du das. Wie benutzt man das implizite Funktionentheorem?
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ledum

ledum aktiv_icon

22:07 Uhr, 24.08.2018

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Hallo
Gilgamesch ist hier auf dem forum der Troll, der nur schreibt, um zu zeigen, was er alles weiss und du und wir- wie er denkt- nicht.
bitte ignorier ihn einfach. Er hat noch nie jemand geholfen, nur Frager verunsichert.
Gruß ledum
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anonymous

anonymous

23:41 Uhr, 24.08.2018

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Liebe Florentine; ich bin ja angeblich nur ein Troll. In Wiki findest du das IFT ausführlich beschrieben; ich nehme an online gibt es weitetre Skripten oder Videos .
Mir schwebt vor: Vom Standpunkt des IFT ist auch die spezielle Darstellung y=f(x) doch nichts weiter als eine implizite Darstellung ihrer Umkehrfunktion x=φ(y). Du hast doch diese Bedingung, dass die Jacobimatrix nicht singulär werden soll .
Ich finde gerade Wiki vergleicht wunderbar den eindimensionalen mit dem mehrdimensionalen Fall .
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anonymous

anonymous

00:03 Uhr, 25.08.2018

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Liebe Florentine; vielleicht meinst du ja auch das. Im eindimensionalen Fall ist die Ableitung der Umkehrfunktion der Kehrwert



    φ'(y)=1f'(x)    (1)




Und im mehrdimensionalen Fall ist die Jacobimatrix die Inverse - steht z.B. im " Kuhrand " ( Richard Courant )





    ∂(x1,... ,xn):∂(y1,... ,yn)=[∂(y1,... ,yn):∂(x1,... ,xn)]-1    (2)
Frage beantwortet
Florentine1996

Florentine1996 aktiv_icon

23:21 Uhr, 25.08.2018

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Ja genau das wars. Danke.