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Schwerpunkt der Halbkreisfläche

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen,

Tags: Integral

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15:38 Uhr, 29.09.2012

"Berechne die Lage des Schwerpunkts einer Halbkreisfläche! Wähle ein geeignetes Koordinatensystem und verwende die Flächenformel des Kreises!"

Wie soll ich diese Aufgabe lösen?

http://www-m7.ma.tum.de/foswiki/pub/M7/Analysis/A2M09/blatt3.pdf

Hier steht (anscheinend müssen Studenten dieselben Rechnungen lösen wie Schüler??)

Bestimmen Sie den Schwerpunkt der Halbkreisfläche um den Ursprung mit Radius

r > 0, d . h

. für

[a, b] =

[

−r,

r]

und

g (x) = \sqrt{r^{2} - x^{2}} .

Mit der Angabe kann ich schon mehr anfangen:

\int_{- r}^{r} \sqrt{r^{2} - x^{2}} = \int y = \frac{3}{2} \cdot {(r^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} \cdot {(r^{2} - r^{2})}^{\frac{3}{2}} -

dasselbe

= 0

\int_{- r}^{r} (r^{2} - x^{2}) = \int y^{2} = r^{2} \cdot x - \frac{x^{3}}{3} = r^{3} - \frac{r^{3}}{3} + r^{3} - \frac{r^{3}}{3} = 2 r^{3} - 2 \frac{r^{3}}{3}

\int_{- r}^{r} x \cdot \sqrt{r^{2} - x^{2}} =

hier

x = r \cdot sin t

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{r^{2} - r^{2} \cdot ({sin}^{2} t)}

r \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} {cos}^{2} \cdot t \cdot d t

= \frac{1}{2} \cdot (x + sin x \cdot cos x) = \frac{π}{4} \cdot r

die erste Koordinate (Zeichen konnte ich unter "Wie schreibt man Formeln?" nicht finden): 0 stimmt

\frac{π}{4} \cdot \frac{r}{0}

η = 0 = 2 r^{3} - 2 \frac{r^{3}}{3} / 0

richtige Lösung: 2. Koordinate ist

4 \cdot \frac{r}{3 \cdot π}

Könnte mir jemand meinen Fehler schreiben?
Danke!
Karin

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

prodomo aktiv_icon

16:04 Uhr, 29.09.2012

Tip: Guldin-Regel !
"Das Volumen eines Rotationskörpers ist gleich der erzeugenden Fläche mal dem Weg des Flächenschwerpunktes"
Beim Halbkreis wäre der Rotationskörper eine Kugel und der Weg des Schwerpunjktes ein Kreis. Bei Rotation um die x-Achse gilt dann 1/2*pi*r^2*2*pi*x_s=4/3*pi*r^3.Nur noch nach

x_{s}

auflösen.
Die Formel für das Schwerpunktsintegral ist auch nichts anderes als die Guldin - Regel mit Termen.

Ahine aktiv_icon

16:17 Uhr, 29.09.2012

\frac{1}{2} \cdot π \cdot r^{2} \cdot 2 \cdot π \cdot x_{s} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot r^{3}

Das geht ja dann ganz einfach! Und ich komme auf das richtige Ergebnis! Vielen Dank!
Wenn ich noch fragen dürfte:
Wie rechnet man den Schwerpunkt einer Halbellipse aus?
Wenn man die GULDIN'sche Regel verwendet, kann man die Volumensformel des linsenförmigen Drehellipsoids nehmen, oder?

V = \frac{4 \cdot a \cdot b^{2} \cdot π}{3}

A = b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}

Und der Weg eine Ellipse? Wie soll ich das ausdrücken?

U = π \cdot \sqrt{2 \cdot (a^{2} + b^{2})}

als Näherung habe ich im Internet gefunden ist das zulässig?

\frac{4 \cdot a \cdot b^{2} \cdot π}{3} = (b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}) \cdot π \cdot \sqrt{2 \cdot (a^{2} + b^{2})} \cdot x_{S}

\frac{4 \cdot a \cdot b^{2} \cdot π}{3 \cdot (b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}) \cdot π \cdot \sqrt{2 \cdot (a^{2} + b^{2})}} = x_{S}

\frac{4 \cdot a \cdot b^{2}}{(3 \cdot b^{2} x^{2} \cdot \sqrt{(2 \cdot (a^{2} + b^{2}))} + 3 \cdot a^{2} y^{2} \cdot \sqrt{2 \cdot (a^{2} + b^{2})}) = x_{S}}

Ich kann das leider nicht weiter kürzen!
Karin

prodomo aktiv_icon

09:58 Uhr, 30.09.2012

Der Weg des Schwerpunktes ist immer ein Kreis, unabhängig von der Flächenform. Der Schwerpunkt einer Halbellipse lässt sich aber auch einfach aus dem ei9nes Halbkreises ableiten. Eine Halbellipse ist das mit dem Faktor

\frac{b}{a}

in y-Richtung "gestreckte" (tatsächlich gestauchte) Bild des Halbkreises. Also gilt das auch für den Schwerpunkt.

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16:45 Uhr, 30.09.2012

Danke für die Antwort:

\frac{1}{2} \cdot π \cdot b^{2} \cdot 2 \cdot π \cdot x_{s} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot b^{3}

Und das Ergebnis ist wieder richtig!
Vielen, vielen Dank für die doppelte Hilfe! Alleine wäre ich wohl darauf kaum gekommen, besonders bei der Ellipse nicht!
Karin

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16:45 Uhr, 30.09.2012

Danke für die Antwort:

\frac{1}{2} \cdot π \cdot b^{2} \cdot 2 \cdot π \cdot x_{s} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot b^{3}

Und das Ergebnis ist wieder richtig!
Vielen, vielen Dank für die doppelte Hilfe! Alleine wäre ich wohl darauf kaum gekommen, besonders bei der Ellipse nicht!
Karin

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16:45 Uhr, 30.09.2012

Danke für die Antwort:

\frac{1}{2} \cdot π \cdot b^{2} \cdot 2 \cdot π \cdot x_{s} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot b^{3}

Und das Ergebnis ist wieder richtig!
Vielen, vielen Dank für die doppelte Hilfe! Alleine wäre ich wohl darauf kaum gekommen, besonders bei der Ellipse nicht!
Karin

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