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Sinusfunktion, formel in normalgestalt bringen?

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Formel, Sinusfunktion

albertaeinstein aktiv_icon

13:28 Uhr, 27.05.2010

Juhuu und Hallihallo:-)
Ich verzweifel hier gleich über meiner Matheaufgabe:S
Wir behandeln gerade Sinusfunktionen, und ich verstehe es zu meiner Verwunderung echt extrem gut, aber jetzt tun sich mir doch Fragen auf:(
AAAAALso:
Die Normalform geht ja:

f (x) = A \cdot sin [B \cdot (x - C)] + D

Und bevor man anfangen mit dem zeuchnen loszulegen muss man das ja so umformen?!

Wenn die aufgabe ist: Zeichnen sie die funktion

f (x) = 3 \cdot sin (2 x - 2) + 2,

warum ist die Normalform dann:

f (x) = 3 \cdot sin [2 \cdot (x - 1)] + 2

was macht die 1 an der Stelle von C?
in der normalform

sin x

ist A ja

= 1

B

ja=1

C

D

= 0

oder?
ich versteh es einfach nich, wie kommt diese Formel nur zustande?!
wäre suuupiduupi total toll;-) wenn mir jemand helfen kann
Danke schonmal im vorraus
Lg Mareike

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Mitternachtsformel

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Sinus- und Kosinusfunktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

IQ145 aktiv_icon

14:07 Uhr, 27.05.2010

Der Wert für den Sinus wurde umgeformt.

2 x - 2 = 2 (x - 1)

Die Normalform wird verwendet um die Lage des Sinus besser zeigen zu können.
A ist ein Proportionalitätsfaktor für die Amplitude

D

gibt die Verschiebung der Gleichwertachse an

B

gibt die Schwingweite oder Periodendauer an

C

ist die Phasenverschiebung

Edddi aktiv_icon

14:18 Uhr, 27.05.2010

Schaun' wir uns mal 'ne saubere Sinusschwingung an:

y = sin (x)

Periode ist

2 \cdot π

und Amplitude ist 1

wenn man nun

y = sin (B \cdot x)

betrachtet, so wird die Funktion entlang der X-Achse gestaucht (für

B > 1),

gestreckt (für 0<B<1)...die negativen Werte lass ich mal weg.
Logisch, da

z . B

. der Funktionswert von

2 \cdot x

schon bei

x

abgebildet wird (Stauchung)

Wie du auch sicherlich weißt , wird eine Funktion

f (x)

entlang der X-Achse um

C

verschoben über:

y = f (x - C)

Dass heißt

y = sin (B \cdot (x - C)) = sin (B \cdot x - B \cdot C)

ist ein um

C

verschoben Funktion

y = sin (B \cdot x)

Jetzt kannst du auch noch jede Funktion um einen Betrag A entlang der Y-Achse Strecken und stauchen.

y = A \cdot f (x)

wird gestreckt für

A > 1

und gestaucht für 0<A<1...bei den negativen Werten ergeben sich analog zu negativen B-Werten Spiegelungen (lass' ich mal jetzt außen vor)

Somit hast du also

y = A \cdot sin (B \cdot (x - C))

Nun fehlt nur noch die Verschibung entlang der Y-Achse...dazu addieren wir einfach zu jedem Funktionswert einen Betrag, und das sieht dann so aus:

y = f (x) + D :

y = A \cdot sin (B \cdot (x - C)) + D

Ich fass' nochmal zusammen:

A -

Streckung / Stauchung entlang der Y-Achse (bei neg. Werten eine Spiegelung an X-Achse)

B -

Streckung / Stauchung entlang der X-Achse (bei neg. Werten eine Spiegelung an Y-Achse)

D -

Verschiebung entlag der Y-Achse

C -

Verschiebung entlang der X-Achse

Machen wir mal ein Beispiel (erstmal mit pos. Werten):

y = 3 \cdot sin (12 \cdot x + 4) + 3

in Form bringen:

y = 3 \cdot sin (12 \cdot (x + \frac{1}{3})) + 3

Somit:
Sinusfunktion

sin (12 \cdot x)

- \frac{1}{3}

entlang der Achse verschoben,

d . h

. Beginn der Sinunsschwingung (gestaucht...nicht mit

2 \cdot π

sondern

\frac{2 \cdot π}{12} = \frac{π}{6})

bei

- \frac{1}{3},

Periode gestaucht

\frac{π}{6}

(nicht mit

2 \cdot π

sondern

\frac{2 \cdot π}{12} = \frac{π}{6}),

Amplitude 3 (also zwischen

Y - 3

und 3 pendelnd),
verschoben um 3 auf der Y-Achse (damit zw. 0 und 6 pendelnd)

...ich hoffe du konntest das verstehen, und nun auch nachvollziehen, warum man in deinem Beispiel

sin (2 \cdot x - 2)

als

sin (2 \cdot (x - 1))

darstellt. Denn nur dann kannst du die Verschiebung richtig ablesen.

;-)

albertaeinstein aktiv_icon

20:03 Uhr, 27.05.2010

Hallooooo
gaaaanz lieb das ihr soooo viel geschrieben habt:-D)
aber ich wäre nich ich, wenn ich es "schon" verstanden hätte:-P)
Also, es war ganz toll, dass du es mir nochmal so übersichtlich gegliedert hast:-D)
aber ich habe leider noch nicht verstanden, warum es

- 1

anstatt

- 2

heiß

: (

Liebe verzweifelte Grüße nochmal

CKims aktiv_icon

20:13 Uhr, 27.05.2010

das hat dir IQ145 schon versucht zu erklaeren

in der normalform bezieht sich das

B

auf einen klammerausdruck

B \cdot (x - C)

du musst jetzt deine aufgabe auch auf diese form bringen, du hast da aber

2 x - 2

stehen. wenn du nun einfach sagen wuerdest

B = 2

und

C = 2

waere es falsch da dann deine normalform so aussehen wuerde

B x - C

da fehlen aber die klammern. du musst also vorher dafuer sorgen dass du da diese klammer rein kriegst und das erreichst du indem du eine 2 ausklammerst

2 x - 2 = 2 (x - 1)

jetzt ist das genau in der form wie wir sie haben wollen naemlich

B (x - C)

und wir koennen sagen dass

B = 2

und

C = 1

ist.

lg

albertaeinstein aktiv_icon

21:35 Uhr, 27.05.2010

okidoki, ich hab jetzt glaub ich so einigermaen verstanden, weshalb man das so macht.

Aber wie funktioniert das mit dem ausklammern?

ich bin die totale mathe 0 und mir fehlen ne menge grundlagen merk ich mal wieder?!

gaaaanz viele Grüße

CKims aktiv_icon

04:22 Uhr, 28.05.2010

also erstmal das ausmultiplizieren

3 \cdot (1 + 4 - 2) = 9

wir wissen dass da 9 rauskommt, wenn man das ausrechnet. aber wollen wir ja das ausmultiplizieren ueben. ausmultiplizieren bedeutet den term vor der klammer in die klammer zu bekommen. die regel lautet: term vor der klammer multiplzieren mit JEDEM term innerhalb der klammer. also musst du folgendes rechnen

3 \cdot 1 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot 2

das soll ja dasselbe sein wie oben. also muss auch 9 rauskommen (und das tut es auch. probier es aus)

jetzt gibt es das ausklammern. das ist genau das gegenteil von ausmultiplzieren. wir wollen also

z . B

. eine 3 ausklammern bei

3 \cdot 1 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot 2

was machen wir also? genau, wir nehmen von jedem term eine 3 weg und stellen diese ausserhalb von klammern

3 (1 + 4 - 2)

fertig

schauen wir uns nun mal deine aufgabe an

2 x - 2

das koennen wir auch schreiben als

2 \cdot x - 2 \cdot 1

hier koennen wir eine 2 ausklammern. also von jeden term eine 2 wegnehmen und ausserhalb von klammern schreiben

2 (x - 1)

fertig

lg

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