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Stammfunktion bilden (Aufleiten)

Schüler

Tags: Aufleiten, Integral, Stammfunktion

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20:23 Uhr, 18.03.2014

Hallo,

wie muss ich bei solchen Aufgaben angehen, um die passende Stammfunktion zu ermitteln?

Beispiele;

- (3 x^{2} + 5)

- (\frac{1}{3} x^{4} + 2 x)

- {(3 x + 2)}^{5}

Hinweis: Das sind jeweils separate Aufgaben, dass minus am Anfang gilt hier nicht als Rechenzeichen, sondern dient lediglich zur besseren Darstellung der Aufgaben :-)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Eva88 aktiv_icon

20:25 Uhr, 18.03.2014

- (3 x^{2} + 5) = - 3 x^{2} - 5

Stammfunktion:

- x^{3} - 5 x + C

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20:27 Uhr, 18.03.2014

Das Minus gilt nicht als Rechenzeichen, wie bereits geschrieben.

Des Weiteren, wie komme ich darauf, damit ich das selber anwenden kann. Lediglich die Endlösung hilft mir nicht weiter :-)

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20:31 Uhr, 18.03.2014

Besonders, wenn an der Klammer ein Exponent ist, würde mich interessieren, wie man das lösen kann, wie am letzten Beispiel.

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20:31 Uhr, 18.03.2014

allg. Formel

f (x) = a \cdot x^{n}

Stammfunktion:

\frac{{(a \cdot x)}^{n + 1}}{n + 1}

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20:34 Uhr, 18.03.2014

In welchem Schuljahr bist du denn ?

Wenn du nichtmal die Stammfunktion einfacher Funktionen kannst, gehe ich mal davon aus, dass dir die "Kettenregel für Integrale" nichts sagt.

Von daher erst mal ausmultiplizieren.

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20:34 Uhr, 18.03.2014

Okay, das hilft mir etwas weiter. Nur verstehe ich noch nicht, warum aus "+5" dann

+ 5 x

wird.

Des Weiteren, beim dritten und letzten Beispiel, habe ich eine Klammerrechnung mit Exponent, da kann ich das verfahren irgendwie nicht anwenden.

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20:36 Uhr, 18.03.2014

5 = 5 \cdot x^{0}

Jetzt den Exponenten um 1 erhöhen und dadurch teilen.

\frac{5 \cdot x^{1}}{1} = 5 x

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20:40 Uhr, 18.03.2014

Okay, macht Sinn, nur wie ist es in diesem Fall:

{(3 x + 2)}^{5}

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20:44 Uhr, 18.03.2014

{(3 x + 2)}^{5} = (3 x + 2) (3 x + 2) (3 x + 2) (3 x + 2) (3 x + 2)

ausmultiplizieren.

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20:47 Uhr, 18.03.2014

Nein ohne Ausmultiplizieren, bei der Ableitung findet die Kettenregel Anwendung. Nur wie ist es jetzt, wenn ich das rückwärts mache?

laut Musterlösung habe ich:

\frac{1}{6} {(3 x + 2)}^{5} \cdot \frac{1}{3}

Wie ich auf diese Lösung komme keine Ahnung, da ich jetzt nicht weiss, wie man da verfahren muss, vielleicht kannst du mir das erklären.

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20:48 Uhr, 18.03.2014

Ich habe dich vorhin gefragt in welcher Klasse du bist.

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20:51 Uhr, 18.03.2014

11

. Klasse

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20:57 Uhr, 18.03.2014

{(3 x + 2)}^{5}

durch innere Ableitung teilen und dann Stammfunktion bilden

3 x + 2

ist innere Abl.

\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} \cdot {(3 x + 2)}^{6}

deine Musterlösung stimmt nicht.

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20:59 Uhr, 18.03.2014

Wie durch die innere Ableitung teilen?

Deine Lösung stimmt ja mit meiner oben überein?

Könntest du das Schritt für Schritt machen? - damit ich dem besser nachvollziehen kann :-)

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21:00 Uhr, 18.03.2014

Stimmt nicht überein. Du hast hoch 5.

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21:02 Uhr, 18.03.2014

\frac{1}{6} \cdot {(3 x + 2)}^{6} \cdot \frac{1}{3}

Stimmt, war Tippfehler von mir.

Aber wie kommt man auf diese Lösung, ich verstehe es immer noch nicht, um ehrlich zu sein, von der Schrittfolge her.

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21:07 Uhr, 18.03.2014

Den Wert in der Klammer leitest du ab und teilst dadurch. Dann die Stammfunktion der Klammer bilden.

in der Klammer

(3 x + 2)

abgeleitet 3 ist dann

\frac{1}{3}

jetzt die Stammfunktion der Klammer

{(3 x + 2)}^{5}

ist

\frac{1}{6} \cdot {(3 x + 2)}^{6}

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21:11 Uhr, 18.03.2014

Warum werden die Werte jeweils als

\frac{1}{x}

dargestellt?

Des Weiteren, nur mal rein als Beispiel, wenn ich nicht nur einmal in der Klammer ableite sondern zwei Zahlen, als Beispiel:

{(3 x^{2} + 2 x)}^{5} -

ändert sich das was am Schema?

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21:16 Uhr, 18.03.2014

Leite doch einfach mal ab, dann siehst du das es richtig ist. Dieses Schema gilt nur für

{(a \cdot x + b)}^{n}

oder ähnlich.

für

{(a \cdot x^{2} + b \cdot x)}^{n}

gilt dieses Schema nicht.

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21:16 Uhr, 18.03.2014

Dann noch eine ganz spezielle Aufgabe:

- 0,8 {(\sqrt{2 x} - \sqrt{3})}^{3}

Dadurch, dass hier jetzt Wurzeln sind, muss ich da besonderes aufpassen. Ist es hier sinnvoll, das ganze als

z . B 2 \frac{x^{1}}{2}

umzuschreiben?

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21:17 Uhr, 18.03.2014

siehe

21 : 16

Uhr

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21:20 Uhr, 18.03.2014

{(3 x^{2} + 2 x)}^{5}

Also innere Ableitung wäre:

6 x + 2

Stammfunktion bilden der Klammer:

\frac{1}{6}

ist es dann

\frac{1}{6} \cdot {(3 x^{2} + 2 x)}^{6} \cdot 6 x

Eva88 aktiv_icon

21:22 Uhr, 18.03.2014

Nein ist falsch. Siehe

21 : 16

Uhr

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21:23 Uhr, 18.03.2014

Welches Schema wird stattdessen angewendet, natürlich kann ich es durch Ableitung kontrollieren, nur wäre hier gut zu wissen, wie ich bei der anderen Varianten vorgehen muss.

Eva88 aktiv_icon

21:26 Uhr, 18.03.2014

Wahrscheinlich mit Substituieren. Aber treu dem Motto:

Differenzieren ist Handwerk, Integrieren eine Kunst.

Soll heißen, die Aufgabe ist viel zu komplex. Das benötigst du für das Abi nicht.

Wenn du es wissen willst, frag Wolfram.

LivoKing aktiv_icon

21:32 Uhr, 18.03.2014

Okay und hier: