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Stammfunktion , e-Funktion , Produktregel

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: e-Funktion, Produktregel, Stammfunktion

SchokoJulia aktiv_icon

13:56 Uhr, 18.05.2008

Hallo,

Ich benötige die Produktregel bei einer Stammfunktion von einer e-Funktion..

f (x) =

\cdot

ℯ^(kx)

ist

F (x) = u (x) \cdot

v´(x) - u´(x)*

v (x)

also:

F (x) =

\cdot

1/k*ℯ^(kx)

- a \cdot

ℯ^(kx)

z . B

. :

f (x) = 2 x \cdot

ℯ^(3x)
ist dann sie Stammfunktion dazu:

F (x) = 2 x \cdot

1/3*ℯ^(3x)

- 2 \cdot

ℯ^(3x)

zusammengefasst:

F (x) =

ℯ^(3x)

\cdot (\frac{2}{3} x - 2)

ist das richtig???

Liebe grüße im Vorraus!

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Stammfunktion
e-Funktion
ln-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

MBler07 aktiv_icon

14:16 Uhr, 18.05.2008

Hi

"Ist das richtig?" Die Frage kannst du dir selbst beantworten. Einfach mal ableiten. Du wirst feststellen, dass es falsch ist.

Wie kommst du auf diese Formel? Sieht irgendwie nach partieller Integration aus, nur halt ohne Integral.
Du hast die wahrscheinlich irgendwo falsch aufgeschrieben. Richtig heißt es:

\int (u (x) \cdot v' (x)) = u (x) \cdot v (x) - \int (u' (x) \cdot v (x))

Auf ein Neues

: -)

Grüße

SchokoJulia aktiv_icon

14:57 Uhr, 18.05.2008

wir schreiben morgen eine Klausur über Exponentialfunktionen..

und unsere Lehrerin hat uns nicht wirklich was gegeben,also muss ich gucken,was das world wide web hergibt..:P

wir sollen Produkt und kettenregel bei einem Integral selber raussuchen und beibringen..

SchokoJulia aktiv_icon

15:02 Uhr, 18.05.2008

So?:

f (x) = 2 x \cdot

ℯ^(3x)

F (x) = 2 x \cdot

ℯ^(3x) - ∫(2*ℯ^(3x)

MBler07 aktiv_icon

15:20 Uhr, 18.05.2008

HAHA. das ist wohl ein Witz. So einer Lehrerin würd ich was erzählen. Die kann in einer Klausur nicht unbehandelten Stoff drannehmen. Gerade wenn es um so ein komplexes Thema geht. Wofür gibts die denn?

Beim Integrieren (=Stammfunktion bilden) gibt es keine Gesetze wie beim ableiten, die immer angewendet werden können. Es gibt nur ein paar rechenhilfen für (häufige) Sonderfälle. Ansonsten gäb es nicht riesen Bücher mit Integraltafeln.
So auch bei der partiellen Integration. Die Formel hab ich oben aufgeschreiben. Sie ist allerdings nur bei nichtreplizierenden Produkten anwendbar. Nicht viel bringt sie dir

z . b

. bei

\int (\frac{e^{a \cdot x}}{x^{n}}) = \int (x^{- n} \cdot e^{a \cdot x})

. Bei anderen Ausdrücken muss mehrfach partiell integriert werden, bis man zu einem Ergebnis kommt
Selbiges gilt für die "Kettenregel". Sie ist nur anwendbar, wenn der innerne Ausdruck linear ist (also nur ein einfaches

x

hat). Hab ich ja schon im anderen Thread geschrieben.

Den einzigen Vorteil, den du hast ist, dass nur einfache Aufgaben drankommen werden, die direkt offensichtlich mit einem der beiden Verfahren gelöst werden können.

Zu deinem Beispiel:

f (x) = a \cdot x \cdot e^{k \cdot x}

u (x) = a \cdot x

u' (x) = a

v' (x) = e^{k \cdot x}

v (x) = \frac{1}{k} \cdot e^{k \cdot x}

Eingesetzt:

F (x) = [a \cdot x \cdot \frac{1}{k} \cdot e^{k \cdot x}] - \int (a \cdot \frac{1}{k} \cdot e^{k \cdot x})

= [\frac{a}{k} \cdot e^{k \cdot x}] - [a \cdot \frac{1}{k} \cdot \frac{1}{k} \cdot e^{k \cdot x}]

= [\frac{a}{k} \cdot e^{k \cdot x}] - [\frac{a}{k^{2}} \cdot e^{k \cdot x}]

Wobei die

[...]

bedeuten, dass es sich um die Stammfunktion handelt, in die die Grenzen eingesetzt werden müssen, sofern welche gegeben sind. Also auch im ersten Teil!!!

Beim Besipiel kommt dementsprechend heraus

F (x) = e^{3 \cdot x} \cdot (\frac{2}{3} \cdot x - \frac{2}{9})

Hoffe mal, das hilft dir etwas. Ansonsten nochmal nachfragen.

SchokoJulia aktiv_icon

15:37 Uhr, 18.05.2008

Ohjee,du bist ja wie ein Engel..du kannst dir ja nicht vorstellen,wie lange ich schon nach einer Lösung suche..

okay ich hab jetzt verstanden wie das Prinzip ist!(dank dir)

eine andere Aufgabe:

f (x) = 3 x \cdot

ℯ^(4x)

F (x) =

ℯ^(4x)

\cdot (\frac{3}{4} x - \frac{3}{16})

oder?

nur leider noch nicht verstanden hab ich,wann ich diese Regel benutzen kann?

MBler07 aktiv_icon

15:56 Uhr, 18.05.2008

Dein Ergebnis stimmt.

Was das anwenden angeht:
Wie schon gesagt gibt es dafür keine regel. Man erkennt, dass es funktionieren könnte und macht dann einfach.
Grundsätzlich musst du zusehen die Funktion in zwei vernünftige Faktoren zu zerlegen, sodass du einen davon einfach aufleiten kannst (das

v (x)

). Bei dir dürfte dann schpon schluss sein. Villeicht noch mal eine zweite oder dritte Anwendung.

z . B

f (x) = x^{2} \cdot e^{k \cdot x}

F (x) = x^{2} \cdot \frac{e^{k \cdot x}}{k} - \int (2 \cdot x \cdot \frac{e^{k \cdot x}}{k}) = x^{2} \cdot \frac{e^{k \cdot x}}{k} - (2 \cdot x \cdot \frac{e^{k \cdot x}}{k^{2}} - \int (2 \cdot \frac{e^{k \cdot x}}{k^{2}}) =

x^{2} \cdot \frac{e^{k \cdot x}}{k} - (2 \cdot x \cdot \frac{e^{k \cdot x}}{k^{2}} - (2 \cdot \frac{e^{k \cdot x}}{k^{3}}))

Allerdings nicht zu sehr darauf versteifen. Ab und zu ist Substitution oder die"Kettenregel" sinnvoller weil schneller. Manchmal kann man durch ausmultiplizieren den Integral in Summanden zerlegen, so dass dann die partielle Integration gar nicht mehr benötigt wird.
Ist halt alles eine Frage der Übung. Irgendwann erkennt man ziemlich schnell was möglich/sinnvoll ist.
Da das bis morgen etwas knapp wird, versuch einfach noch ein paar Aufgaben zu rechnen. Ich denke nicht, dass die in der Klausur so schwer sind bzw es wird eindeutig sein, ob du die Kettenregel oder die partielle Integration anwenden musst.

MBler07 aktiv_icon

16:03 Uhr, 18.05.2008

Nachsatz zur Anwendung:
Bei Produkten, von denen der eine Faktor einfach aufleitbar ist und der andere sich durch Ableiten irgendwann wegkürzt.

SchokoJulia aktiv_icon

16:17 Uhr, 18.05.2008

Ich danke dir!

du hast mir wirklich weiter geholfen!

Ich wünsche dir noch einen schönen restlichen Tag!
Liebe grüße Julia

MBler07 aktiv_icon

16:18 Uhr, 18.05.2008

Danke. Dir auch.
Und viel Glück morgen!

SchokoJulia aktiv_icon

22:13 Uhr, 03.06.2008

Danke nochmal für deine Hilfe..
hat mir wirklich Sicherheit gegeben..und am Ende hab ich

14

punkte(eine glatte

1

) geschrieben!!!!!!;-

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