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Symmetrie mit Verschiebung x und y Richtung

Schüler Gymnasium,

Tags: Symmetrie, Verschiebung, x-Achse, y-Achse

flachzange18 aktiv_icon

22:31 Uhr, 12.11.2011

Hallo,

ich hätte einige Fragen zu diesem Thema, da wir am Montag eine Arbeit darüber schreiben werden.

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion

f

mit f(x)=1/3x³-x+1.

a)

Zeigen Sie, dass das Schaubild

K

von

f

symmetrisch zum Punkt

P (0 | 1)

ist.

meine antwort:

f (x) = f (- x)

1=1/3*(-x)³-(-x)+1

\to 1 = - \frac{1}{3} x + x + 1

oder könnte man das auch mithilfe einer Wertetabelle machen?

b)

Spiegeln sie

K

an der y-Achse. Wie lautet die Gleichung der gespiegelten Kurve ?

Aufgabe 2:

K

ist der Graph der Funktion

f

mit

f (x) =

x²+x+2.

a)

Zeigen sie (mit Hilfe von Verschiebung):

K

ist achsensymmetrisch zur
Geraden

x = - 0,5

b)

Verschieben sie

K

horizontal, so dass die neue Kurve durch

P (3 | 5)

verläuft. Bestimmen sie rechnerisch den neuen Funktionsterm. Wie viele Lösungen gibt es.

So grob weiß ich, dass ich

z . b

. die

(x - d)

formel benutzen muss für die Verschiebung und dann wieder mit fx=f-x zeigen muss, dass es achsensymmetrisch zur y-achse ist aber wie mache ich das ?

Wäre echt nett wenn ihr mir richtig verständlich 'for dummies' helfen könntet!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Symmetrie (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Symmetrie von Vierecken

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DmitriJakov aktiv_icon

22:41 Uhr, 12.11.2011

Editiere mal deine gestrichelten Linien raus. Dadurch gerät Dein posting hinter die Werbung und wird somit verdeckt.

Und Punktsymmetrie: Zum Ursprung wäre das

f (x) = - f (- x)

zum Punkt

(0 | 1)

ist das:

f (x) - 1 = - f (- x) + 1

flachzange18 aktiv_icon

22:55 Uhr, 12.11.2011

Ich verstehe das nicht ganz, kannst du das auch ein wenig erklären ?

Wieso steht nach dem

f (x)

ein

- 1

?

Und wie mache ich das mit zur geraden

x = - 0,5

DmitriJakov aktiv_icon

23:03 Uhr, 12.11.2011

Also bei Punktsymmetrie:
Wenn der Punkt gegenüber dem Ursprung um

x_{s}

nach rechts und um

y_{s}

nach oben verschoben ist, dann wird aus:

f (x) = - f (- x)

f (x - x_{s}) + y_{s} = - (f (- (x - x_{s})) + y_{s})

Klammern aufgelöst wird das zu:

f (x - x_{s}) + y_{s} = - f (- x + x_{s}) - y_{s}

Bei der Achsensymmetrie ist es etwas einfacher:

f (x) = f (- x)

f (x - x_{s}) = f (- (x - x_{s}))

Klammern aufgelöst:

f (x - x_{s}) = f (- x + x_{s})

flachzange18 aktiv_icon

23:23 Uhr, 12.11.2011

Könntest du es mir vlt. anhand dieser Aufgabe erklären und aufzeigen wie ich es machen soll ?

K

ist der Graph der Funktion

f

mit

f (x) =

x²+x+2.

a)

Zeigen sie (mit Hilfe von Verschiebung):

K

ist achsensymmetrisch zur
Geraden x=−0,5.

b)

Verschieben sie

K

horizontal, so dass die neue Kurve durch

P (3 | 5)

verläuft. Bestimmen sie rechnerisch den neuen Funktionsterm. Wie viele Lösungen gibt es.

DmitriJakov aktiv_icon

23:27 Uhr, 12.11.2011

Wenn die Symmetrieachse jetzt durch

- 0,5

verlaufen soll, dann ist

x_{s} = - 0,5

Oben habe ich hingeschrieben wie dann der Symmetrietest aussehen muss. Setz da mal für

x_{s}

den Wert

- 0,5

ein.

flachzange18 aktiv_icon

23:43 Uhr, 12.11.2011

f (x - 0,5) = f (- x - 0,5)

? Oder muss ich das mit dem f(x)=x²+x+2 machen ?

b)

Verschieben sie

K

horizontal, so dass die neue Kurve durch

P (3 | 5)

verläuft. Bestimmen sie rechnerisch den neuen Funktionsterm. Wie viele Lösungen gibt es.

Wie würde ich die Aufgabe machen ?.. ich verstehe nichts.. außer das mit

f (x) = f (- x)

DmitriJakov aktiv_icon

23:48 Uhr, 12.11.2011

Zwei Dinge:

15

Minuten vor Mitternacht ist nicht die beste Zeit sich das noch einzuprügeln. Mach besser morgen weiter.

Und das andere: Mich beschleicht der Verdacht, dass ich oben einen Fehler reingebracht habe, denn meine Technung geht nicht auf. Wohl unter anderem auch wegen der Uhrzeit.

Wir sollten beide besser für heute Schluss machen.

flachzange18 aktiv_icon

23:53 Uhr, 12.11.2011

ok aber ich fange erst jetzt an das perfekt zu begreifen :-)

achsensymmetrisch zur gerade

x = - 0,5

würde heißen, dass meine y-achse anstatt bei

(0 | 0)

jetzt bei

(- 0,5 | 0)

ist. Und die normalsymmetrie wäre für y-achse

f (x) = f (- x)

aber jetzt da ich für

x = - 0,5

habe setze ich es dort ein.

f (x - 0,5) = f (- x - 0,5)

. Müsste ich dann für die Aufgabe

a)

nur das hinschreiben ? Muss ich an f(x)=x²+x+2 nichts ändern?

DmitriJakov aktiv_icon

23:59 Uhr, 12.11.2011

Genau dort hängt gerade mein Denkfehler (vermutlich). Daher mache ich jetzt Pause, bevor ich Dir was falsches sage. Ich fürchte fast, dass ich es schon getan habe. Also mach besser jetzt auch Schluss für heute.

BjBot aktiv_icon

08:40 Uhr, 13.11.2011

zu 1a) Es gibt auch einen Satz, der besagt, dass jeder Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades punktsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt ist. Hat man diesen Satz nicht zur Verfügung, dann ist ein einfacher Gedankengang der Folgende: Wäre K symmetrisch zu P(0|1), dann müsste doch eine Verschiebung um 1 Einheit nach unten zur Folge haben, dass...

zu 1b) Dafür gibt es einen recht einfachen Zusammenhang, der sicher auch in deinem Heft/Buch steht.

zu 2a) entweder Scheitelpunktform oder wieder wie bei 1a: Wäre K symmetrisch zu x=-0,5, dann müsste doch ein Verschiebung um 0,5 Einheiten nach rechts zur Folge haben, dass...

zu 2b) Nach oben oder unten verschiebt man einfach nur durch ..... und um nach der neuen Unbekannten aufzulösen setzt man einfach nur P(3|5) ein

DmitriJakov aktiv_icon

10:19 Uhr, 13.11.2011

Ich korrigiere jetzt auch mein posting von gestern,

23 : 03

Uhr. Das war nämlich wirklich falsch.

Wenn die Symmetrieachse einer achssymmetrischen Funktion mit der y-Achse zusammenfällt, dann gilt:

f (x) = f (- x)

Ist die Symmetrieachse aber um

y_{s}

gegenüber der y-Achse verschoben, so gilt:

f (y_{s} + x) = f (y_{s} - x)

Ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung, dann gilt:

f (x) = - f (- x)

Und wenn sie zu einem Punkt

S (x_{s} | y_{s})

symmetrisch ist, dann gilt:

f (x_{s} + x) - y_{s} = - f (x_{s} - x) + y_{s}

flachzange18 aktiv_icon

13:38 Uhr, 13.11.2011

Ganz ehrlich könnt ihr es ein wenig leichter erklären ? Ich habe jede Menge Leute gefragt und die können es entweder nicht oder machen es so kompliziert, dass man es nicht versteht.

Kann vlt. einer von euch mir die Aufgaben mit den gegeben Zahlen erklären und nicht nur xs und ys etc ?

Ich brauch die Hilfe echt für Morgen.. ich versteh nicht wie das gehen soll..

DmitriJakov aktiv_icon

13:56 Uhr, 13.11.2011

Viel einfacher geht es leider nicht. In Aufgabe

a)

geht es um Punktsymmetrie. Der Punkt

P

hat die Koordinaten

(x_{s}; y_{s}) = (0 | 1)

x_{s}

ist also 0 und

y_{s}

ist 1

Bei Punktsymmetrie gilt:

f (x_{s} + x) - y_{s} = - f (x_{s} - x) + y_{s}

Hier also:

f (x) - 1 = - f (- x) + 1

Und Deine Funktion lautet:

f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x + 1

Wenn die Punktsymmetrie gezeigt werden soll, dann muss also die folgendeGleichung erfüllt sein:

(\frac{1}{3} x^{3} - x + 1) - 1 = - (\frac{1}{3} {(- x)}^{3} - (- x) + 1)) + 1

\frac{1}{3} x^{3} - x + 1 - 1 = - (- \frac{1}{3} x^{3} + x + 1) + 1

\frac{1}{3} x^{3} - x = \frac{1}{3} x^{3} - x - 1 + 1

\frac{1}{3} x^{3} - x = \frac{1}{3} x^{3} - x

Somit ist die linke Seite gleich der rechten Seite.

Das ist die Hauptarbeit bei der Symmetrie

. .

. und höllisch aufpassen bei den Vorzeichen, da passieren die meisten Fehler.

BjBot aktiv_icon

14:07 Uhr, 13.11.2011

@ flachzange

Wie es ganz einfach auch ohne irgendwelche allgemeinen punkt- oder achsensymmetrische Zusammenhänge geht, hatte ich geschildert.
Damit ist jede Teilaufgabe in genau einer Zeile erledigt.
Wenn du darauf nicht eingehst, hast du eben Pech gehabt ;-)

flachzange18 aktiv_icon

14:23 Uhr, 13.11.2011

Ok ich danke dir sehr, habe es jetzt verstanden und auch die Logik dahinter verstanden... ich habe hier noch ne gleiche Aufgabe ich mache sie jetzt mal selbst und sag mir dann ob es richtig ist.

Zeigen sie mit Hilfe von Verschiebung: Die Funktion

g (x) = x^{5} - 3 x^{3} + 4 x - 8

ist punktsymmetrisch zum Punkt

P (0 | - 8)

.

Punktsymmetrie Formel wäre:

f (- x) = - f (x)

f (- x) + 8 = - f (x) = - 8

Funktion lautet:

g (x) = x^{5} - 3 x^{3} + 4 x - 8

({(- x)}^{5} - 3 {(- x)}^{3} + 4 (- x) - 8) + 8 = - (x^{5} - 3 x^{3} + 4 x - 8) - 8

- x^{5} + 3 x^{3} - 4 x - 8 + 8 = - x^{5} + 3 x^{3} - 4 x + 8 - 8

- x^{5} + 3 x^{3} - 4 x = - x^{5} + 3 x^{3} - 4 x

Beide Seiten gleich. Ist das so richtig ??

DmitriJakov aktiv_icon

14:29 Uhr, 13.11.2011

Du hast jetzt meine Formel ein wenig umgestellt, aber die Umformung war richtig. Es passt also bis hierher :-)

flachzange18 aktiv_icon

14:58 Uhr, 13.11.2011

Ok. Bin jetzt echt glücklich

\land

habs jetzt begriffen wie Punktsymmetrie funktionert. Ich hab noch genau 2 Fragen dann bin ich eigentlich auf dem besten Weg morgen eine

1.0

zu schreiben, da ich den kompletten Rest mit Streckung und Stauchung etc. verstehe.

K

ist der Graph der Funktion

f

mit

f (x) = x^{2} + 6 x + 10

a)

Zeigen Sie:

K

ist symmetrisch zur Geraden mit der Gleichung

x = - 3

Ich würde mir es so vorstellen, dass ich jetzt eine parallele Gerade zur Y-Achse habe mit dem Punkt

(- 3 | 0)

Jetzt muss ich einfach

K

drei nach links verschieben.

g (x) = {(x + 3)}^{2} + 6 (x + 3) + 10

g (x) = x^{2} + 6 x + 9 + 6 x + 18 + 10

g (x) = x^{2} + 12 x + 37

Jetzt müssen wir das nachweisen mit

f (x) = f (- x)

g (- x) = {(- x)}^{2} + 12 (- x) + 37 = x^{2} - 12 x + 37

also ist es doch nicht symmetrisch ??

Und jetzt mal zusammengefasst für morgen:

1 .)

Weisen sie mit Verschiebung nach, Parabel ist symmetrisch zu

x = \pm a \to

Verschiebung

(x - d)

Formel. Ist das so richtig ?

2 .)

Zeigen sie mit Verschiebung, Funktion ist punktsymmetrisch zum Punkt

(x | y),

dann muss ich das mit

f (- x) = - f (x)

machen. Richtig ?

DmitriJakov aktiv_icon

15:15 Uhr, 13.11.2011

Diesen Weg kannst Du natürlich auch wählen: Du verschiebst die Funktion auf die Standard-Symmetrieachse

y

und wendest den Standardtest an:

f (x) = f (- x)

Nun musst Du aber diese Funktion nach rechts verschieben, denn sie ist ja im Augenblick noch symmetrisch zu einer Snkrechten über

x = - 3

. Also testest Du

g (x) = f (x - 3) = {(x - 3)}^{2} + 6 (x - 3) + 10 = x^{2} - 6 x + 9 + 6 x - 18 + 10 = x^{2} + 1

Gilt nun

g (x) = g (- x)

x^{2} + 1 = {(- x)}^{2} + 1

x^{2} = x^{2}

\to

passt also.

Deine Zusammenfassung am Schluss passt jetzt nicht ganz, aber Du hast es anscheinend recht gut im Kopf. Allerdings weiss ich nicht welche Synapsen in Deinem Hirn grade neu gewachsen sind

. .

. aber wenn Du ein gutes Gefühl hast, dann hoffe ich, dass Du dich jetzt nur ungenau ausgedrückt hast.

flachzange18 aktiv_icon

15:35 Uhr, 13.11.2011

Ich dachte wenn man

x = - 3

hat muss man in seiner Rechnung

+ 3

machen, so kenne ich das mit der

x - d

Formel. Wieso muss ich jetzt die

- 3

beibehalten ? Ich meine ich gehe ja 3 Einheiten nach links auf

(- 3 | 0)

. Jetzt soll ich meinen Graph auf der x-Achse 3 nach links verschieben also muss es doch in der Gleichung heißen

f (x) = {(x + 3)}^{2}

oder nicht ? Weil ich ja in die negative Richtung will.

#edit: Ich habe es jetzt mit

x = - 3

verstanden. Das wäre das gleiche wie

(x - 3)

. Und wenn es - ist verschieben wir nach rechts und

+ 3

nach links, deshalb muss ich es auch genauso in meine Formel eintragen mit

- 3

.

Und jetzt noch eine letzte Frage:

Die Funktion

f (x) = x^{2} + x + 2

ist gegeben. Verschieben sie

K

horizontal, so dass die neue Kurve durch den Punkt

P (3 | 5)

verläuft. Bestimmen sie rechnerisch den neuen Term. Wieviele Lösungen gibt es.

\to

Wenn die Aufgabe heißen würde verschieben sie es vertikal, würde ich an dem Parameter

c

dazu addieren.

Vertikal:

5 = 3^{2} + 3 + 2 + c \Rightarrow 5 = 9 + 3 + 2 + c \Rightarrow 5 = 14 + c \Rightarrow - 9 = c \to f (x) = x^{2} + x + 2 - 9

dann wird mein

g (x) = x^{2} + x - 7

Horizontal:

f (3) = 3^{2} + 3 + 2 \Rightarrow f (3) = 9 + 3 + 2 \Rightarrow f (3) = 14

und jetzt wollen wir

f (3) = 5

deshalb machen wir

5 - 14 = - 9

und setzen das wiederum ein

g (x) = x^{2} + x + 2 - 9 \to g (x) = x^{2} + x - 7

Aber da hab ich jetzt ein Hänger... bei beiden kommt ja das gleiche raus.

Und da gibt es eine gleiche Aufgabe, würdest du es mir anhand der Aufgabe erklären ?

Aufgabe 2:

Gegegeben ist die Funktion

f (x) = \frac{5}{x}

und ihr Schaubild Kf.
Verschieben Sie Kf horizontal, so dass die neue Kurve durch

P (4 | 5)

verläuft. Geben sie den neuen Funktionsterm an.

DmitriJakov aktiv_icon

15:46 Uhr, 13.11.2011

Diese rechts- und linksverschiebung kann einen schon verwirren.

Wenn die Funktion horizontal verschoben werden soll, dann heisst das: Finde die Stellen

x,

die im Moment deb y-Wert 5 haben. Dies führt bei einer Parabel oft zu zwei Lösungen. Diese beiden Schnittpunkte Parabel mit

y = 1

musst Du also mit dem Punkt

P (3; 5)

in Deckung bringen.

Löse also zuerst:

f (x) = 5

flachzange18 aktiv_icon

15:57 Uhr, 13.11.2011

Nochmal kurz zu

x = - 3

. Wenn das mir so in der Arbeit gegeben ist, dann ist mit

x = - 3

gemeint, dass man auf der X-Achse 3 nach rechts in positiver Richtung gehen muss korrekt ? Also wäre dann der Term mit

f (x) = {(x - 3)}^{2}

etc. auch richtig oder ?

Und das mit horizontal. Ich habe einige aus meiner Klasse gefragt und die machen es auch genauso. Ich möchte es rechnerisch lösen und nicht irgendwie was ablesen am Graphen.

Wenn mir gegeben ist

f (x) = \frac{5}{x}

und ich soll es so horizontal (auf der x-achse) verschieben, dass sie durch den Punkt

P (4 | 5)

verläuft, dann muss ich es doch nur mein

x

einsetzen.

f (4) = \frac{5}{4} + y

f (4) = 1,25 + 5 \to f (4) = \pm 6,25

Falls das falsch ist, könntest du es mir bitte wie vorhin komplett ausrechnen ? Weil dann verstehe ich es auch. Ich habe auch ein GTR nur nebenbei.

Wenn mein

y = 5

ist dann ist mein

X = 1

und es sind 2 Kurven und nicht nur eine Kurve.

DmitriJakov aktiv_icon

16:08 Uhr, 13.11.2011

Langsam überschlägt es sich wieder bei Dir. Die Aufgabe spricht an keiner Stelle von

x = - 3

. Die Aufgabe spricht von einem Punkt

P (3; 5)

. Von daher kan ich Deine erste Frage nicht beantworten.

Du könntest dir Parabel mit Sicherheit irgendwie manipulieren, sodass einer ihrer beiden Äste dann durch

P (3 | 5)

läuft. Du sollst aber horizontal verschieben. Das bedeutet, dass der Scheitelpunkt der Parabel nach der Verschiebung immer noch auf der selben Höhe

y

befindet wie zuvor.

Und um dies zu schaffen musst Du wissen wo bei der Parabel im Moment die Werte

f (x) = 5

werden.

flachzange18 aktiv_icon

16:20 Uhr, 13.11.2011

Das mit

x = - 3

das war nur eine Frage zu einer anderen Aufgabe, das mit achsensymmetrisch zur Geraden

x = - 3

. Ich wollte nur wissen, wenn mir etwas gegeben ist, wie ich es überprüfen ob es

z . b

. symmetrisch zur Gerade

x = - 3

ist. Und ich habe es mir so vorgestellt das

x = - 3

heißt, dass unsere symmetrieachse jetzt auf

+ 3

liegt, weil es heißt

x = - 3

. Ist das richtig so ?

Und zu Horizontalverschiebung. Bei

f (x) = 5

liegt es bei

x = 1

oder ?

Ein Freund, der zzt. Maschinenbau studiert hat mir gesagt, wenn die Aufgabe

z . b

. so gestellt ist:

Gegeben ist

f (x) = x^{2} + x + 2

und ich muss es horizontal verschieben, so dass die neue Kurve durch den Punkt

(4 | 5)

geht. Dann behalte ich meine 5 und mache weiter:

f (4) = 4^{2} + 4 + 2 \to f (4) = 16 + 4 + 2

dann hab ich an der Stelle 4 ein

y = 22

und setze es ein in meine Gleichung

g (x) = x^{2} + x + 22

dann den die 5 die ich habe minus die

22

und ich bekomme raus

g (x) = x^{2} + x - 22

und dann rechne ich das noch mit der pq-Formel aus damit ich 2 Werte bekomme für meine Verschiebung in x-Richtung also

d 1

und

d 2

.

Ist das so richtig ? Und bitte kannst du jetzt auch mal deine komplette Rechnung hinschreiben ? Ich würde dich nicht fragen, wenn ich es könnte..

DmitriJakov aktiv_icon

16:57 Uhr, 13.11.2011

Wenn die Symmetrieachse bei

x = - 3

liegt, dann heisst das, dass die Symmetrieachse eine Senkrechte über

x = - 3

ist. Gegenüber dem Koordinatensystem ist eine solche Funktion nach links verschoben. Um diese Funktion mit der y-Achse symmetrisch zu machen, musst Du sie also (wieder) nach rechts verschieben, ihrem Argument also 3 hinzuaddieren.

Du schreibst
"Und zu Horizontalverschiebung. Bei

f (x) = 5

liegt es bei

x = 1

oder ?
Was meinst Du mit "es"?

Du sollst jetzt die Stellen

x

bestimmen, bei denen

y = 5

ist, also wo gilt:

x^{2} + x + 2 = 5

Dies ist der Fall bei

x = - \frac{1}{2} (\sqrt{5} + 1)

und bei

x = \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{5} - 1)

Ich kann jetzt aber nicht mehr. Ich brauche selber eine Pause. Dein Freund, der Maschinenbauer hat aber insoweit wohl recht, dass diese Verschiebung um einen sehr krummen Wert erfolgen müsste. Daher ist vielleicht etwas an der Aufgabe fasch geschrieben worden.

flachzange18 aktiv_icon

19:56 Uhr, 13.11.2011

Gibt es keinen einfacheren Weg das zu erklären ? Ich versteh es einfach nicht.. wie du auf die wurzel 5 etc. kommst und wieso überhaupt.

ist das vlt. so richtig ?

5 = {(3 - d)}^{2} + (3 - d) + 2

5 = 9 - 6 d +

d²

+ 3 - d + 2

5 = 14 - 7 d + d^{2}

0 = d^{2} - 7 d + 9

d \frac{1}{2} = 3,5 \frac{+}{-}

Wurzel aus

12,25 - 9

d 1 = 3,5 +

Wurzel

3,25 5,3

d 2 = 3,5 -

Wurzel

3,25

Dann einfach einsetzen in

{(x - d)}^{2} + (x - d) + 2

geht das so ?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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