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Tangente an Kugel bestimmen

Schüler

Tags: eben, Kugel, Tangent

maria95 aktiv_icon

12:32 Uhr, 03.04.2014

Hallo, ich soll folgende Aufgabe lösen.

Punkt

A (5,4,4),

Kugel

K : (X - (

3,-2,1))²=

49

Geben sie eine Gleichung einer möglichen Tangente an der Kugel mit dem Berührpunkt A

Dringend Hilfe !

Danke schonmal im Voraus

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

funke_61 aktiv_icon

12:41 Uhr, 03.04.2014

Hallo,
kannst Du aus der gegebenen Kugelgleichung den Kugelmittelpunkt und den Kugelradius herauslesen?

funke_61 aktiv_icon

12:54 Uhr, 03.04.2014

Ah, ich habe gerade die Aufgabestellung nochmals genau gelesen.
Der Punkt A ist bereits der Berührpunkt der gesuchten Ebene mit der gegebenen Kugel mit dem Mittelpunkt M.

Du benötigst den Vektor zwischen A und

M,

denn dieser wird (da die gesuchte Ebene eine Tangentialebene an die Kugel sein soll) senkrecht auf der gesuchten Ebene stehen.

(Also braucht Du eigentlich nur noch diesen Normalenvektor und den Ortsvektor eines Punktes der gesuchten Ebene in die Normalenform einer Ebenengleichung einzusetzen. Diese Ebene enthält alle Tangenten an die Kugel in

A,

ist aber leider oben nicht gesucht, siehe auch Bummerangs Hinweis unten)
;-)

Bummerang

12:56 Uhr, 03.04.2014

Hallo funke_61,

noch einmal die Aufgabenstellung lesen! Es soll nicht die Tangentialebene angegeben werden!

funke_61 aktiv_icon

12:58 Uhr, 03.04.2014

ok, sorry, bin mal wieder über das Ziel hinausgeschossen. werde es gleich verbessern.

funke_61 aktiv_icon

13:49 Uhr, 03.04.2014

Wie wäre es denn so:
Um die Parameterform einer Tangente an die Kugel im Punkt A zu bekommen, braucht man zusätlich zum Ortsvektor

\vec{a}

von A einen Vektor

\vec{b},

der senkrecht auf dem Vektror

\vec{M A}

steht.
Also muss gelten:

\vec{M A} \cdot \vec{b} = 0

Zur Kontrolle: für

\vec{A M}

erhalte ich

(\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ 3 \end{matrix})

Um die Anzahl der Unbekannten in Gleichung

\vec{M A} \cdot \vec{b} = 0

zu verringern, kann man von Vektor

\vec{b}

eine Komponete Null setzen, denn es wird in der Tangenetialebene bei A an die Kugel sicher zB. Vektoren geben, deren

x_{3} -

Komponete

= 0

ist.
Also vereinfache ich die Bestimmungsgleichung für

\vec{b}

so:

(\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ 0 \end{matrix}) = 0 \Rightarrow 2 b_{1} + 6 b_{2} = 0 \Rightarrow b_{1} + 3 b_{2} = 0 \Rightarrow b_{1} = - 3 b_{2}

Probe, ob

\vec{b}

senklrecht auf

\vec{M A}

ist:

(\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 3 b_{2} \\ b_{2} \\ 0 \end{matrix}) = 0

b_{2} = 0

eine "triviale Lösung" dieser Vektor-Gleichung wäre

(\vec{b} = \vec{0}),

muss

(\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = 0

sein, und das ist erfüllt. (Multipliziere es aus, wenn Du es nicht siehst).
Also steht der Vektor

\vec{b} = (\begin{matrix} - 3 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

senktecht auf

\vec{M A}

Damit hast Du alles, was für die Parameterdarstellung einer Tangente an die Kugel durch A benötigt wird.

Zur Probe könntest Du noch kontrollieren, ob die so entstehende Tangentengleichung nur einen gemeinsamen Punkt mit der Kugel hat

. .

.
;-)

maria95 aktiv_icon

15:30 Uhr, 03.04.2014

Vielen Dank !

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