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Taylor um Wurzel (x)

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Potenzen, Taylor, Wurzel

Marek aktiv_icon

12:40 Uhr, 14.12.2008

Guten Tag,

Wie entwickel ich um eine Wurzel eine Taylorreihe?

Meine Überlegung

f(x)=n

\sqrt{x}

-> f(x)=

x^{α}

f(x)=

x^{α}

f'(x)=

α * x^{α - 1}

f''(x)=

α * (α - 1) * x^{α - 2}

f'''(x)=

α * (α - 1) * (α - 2) * x^{α - 3}

Taylordarstellung

Wenn ich diese Form benutze

f(x)=

f (0) + \frac{f' (0)}{1!} * x + \frac{f ″ (0)}{2!} * x^{2} + \frac{f ″' (0)}{3!} * x^{3}

bekomme ich nur 0 heraus da ja

0^{α}

immer 0 ist

Wenn ich diese Form benutze, weiß ich nicht wie ich

x_{0}

wählen soll

f(x)=

f (x) + \frac{f' (x)}{1!} * (x - x_{0}) + \frac{f ″ (x)}{2!} * (x - x_{0}) + \frac{f ″' (x)}{3!} * (x - x_{0})

Mein Vorhaben ist letzt endlich die Wurzel ohne Taschenrechner mit Hilfe von Taylor zu berechnen, allgemein.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Potenzen
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

anonymous

13:15 Uhr, 14.12.2008

Hallo Marek,

die Taylor-Entwicklung ist nicht unbedingt für jedes

x_{0}

möglich. Daher würde ich mir versuchen, das nächstbeste

x_{0}

zu wählen. Das wäre

x_{0} = 1

.

Gruß
Tobias

Marek aktiv_icon

14:15 Uhr, 14.12.2008

Also schreib ich

\sqrt{x}

in z.B

\sqrt{1 + x}

um.

f (x) = \sqrt{1 + x} = (1 + x)^{\frac{1}{2}}

f' (x) = \frac{1}{2} * (1 + x)^{- \frac{1}{2}}

f ″ (x) = - \frac{1}{2} * \frac{1}{2} * (1 + x)^{- \frac{3}{2}}

f ″' (x) = \frac{3}{2} * \frac{1}{2} * \frac{1}{2} * (1 + x)^{- \frac{5}{2}}

----------------

f_{(x) = f_{(0)}}

----------------

f_{(0)} = (1 + 0)^{\frac{1}{2}} = 1

f'_{(0)} = \frac{1}{2} * (1 + 0)^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}

f ″_{(0)} = - \frac{1}{2} * \frac{1}{2} * (1 + 0)^{- \frac{3}{2}} = - \frac{1}{4}

f {″'}_{(0)} = \frac{3}{2} * \frac{1}{2} * \frac{1}{2} * (1 + 0)^{- \frac{5}{2}} = \frac{3}{8}

Als Taylor ausgeschrieben

f_{(x)} = 1 + \frac{1}{2} * x - \frac{1}{4} * x^{2} + \frac{3}{8} * x^{3}

Wenn ich also ein Ausdruck habe z.B

f_{(x)} = \sqrt{80}

kann ich ihn umschreiben in

f_{(x)} = \sqrt{81 - 1} = \sqrt{81 * (1 - \frac{1}{81})} = 9 * \sqrt{1 - \frac{1}{81}} = 9 * \sqrt{1 + \frac{- 1}{81}}

f_{(x)} = 9 * \sqrt{1 + \frac{- 1}{81}}

ist ja wie oben geschrieben

f_{(x)} = 9 * \sqrt{1 + x}

ist also indem Fall mein

x = \frac{- 1}{81}

eingesetzt in Taylor

f_{(x)} = 9 * (1 + \frac{1}{2} * \frac{- 1}{81}) \approx 8, 944444

mit Taschenrechner

f_{(x)} = \sqrt{80} = 4 \sqrt{5} = 8, 94427191

anonymous

14:28 Uhr, 14.12.2008

Ich bin mir zwar nicht sicher, ob wir dasselbe gemeint haben, aber du kommst ja auf ein gutes Ergebniss =) Hast du oben substituiert (

\sqrt{x}

durch

\sqrt{x + 1}

)?

Naja, dass unten nicht exakt dasselbe Ergebniss herauskommt ist ja klar, da du ja streng genommen "nur" das Taylor-Polynom 3. Grades, und nicht die Taylorreihe bestimmt hast. Bei dem Polynom handelt es sich um eine Approximation.

Gruß
Tobias

Marek aktiv_icon

14:44 Uhr, 14.12.2008

ne ich hab nicht substituiert... da ich ja für

\sqrt{x}

keine Näherungsformel hab, hab ich halt des versucht mir passend umzuschreiben und mit

\sqrt{1 + x}

bzw.

\sqrt{x + 1}

kann ich mir die Taylor Reihe basten :-P)

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