Treppenfunktion/Integration

Zeigen Sie, dass die Funktion:

f(x)=0 für x irrational und x=0 und

f(x)=1/q für x=p/q${\displaystyle \ne }$0 rational, p,q${\displaystyle \in }$N teilerfremd

auf dem Intervall [0,1] eine regulierte Funktion ist (geben Sie eine entsprechende Folge von Treppenfunktionen an), und berechnen Sie das Integral ${\displaystyle {\int }_0^1\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$. Schlussfolgern Sie aus dem Ergebnis, dass f keine Stammfunktion besitzt.

Im Forster Übungsbuch Aufgabe 18G soll die selbe Funktion auf Integrierbarkeit überprüft werden.

Dabei wurde folgende Treppenfunktion aufgestellt:

${\displaystyle \mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$=1 fur |x-x_i|${\displaystyle ⪇}$${\displaystyle \mathrm{ϵ<mspace\; width="0.12em"></mspace>}/4\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$, sonst: ${\displaystyle \mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$=${\displaystyle \mathrm{ϵ<mspace\; width="0.12em"></mspace>}/2}$.

1. Frage: Kann ich diese Treppenfunktion für meine Aufgabe übernehmen?

2. Frage: Wie soll ich ein Integral berechnen, zu dem es keine Stammfunktion gibt?

Im Forster steht:

Da f${\displaystyle \ge }$0, genügt es offenbar zu zeigen, dass zu jedem ${\displaystyle \mathrm{ϵ<mspace\; width="0.12em"></mspace>}>}$0 eine Treppenfunktion ${\displaystyle \mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}:[0,1]}$${\displaystyle \to \mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ existiert mit ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\le \mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ und ${\displaystyle {\int }_0^1\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$${\displaystyle \le \mathrm{ϵ<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$.

Sei ${\displaystyle \mathrm{ϵ<mspace\; width="0.12em"></mspace>}>0}$ beliebig. Nach Definition von f gibt es nur endlich viele Stellen ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1}$,${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2}$,...,${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$${\displaystyle \in [0,1]}$ mit f(${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$)${\displaystyle >\mathrm{ϵ<mspace\; width="0.12em"></mspace>}/2}$ für i=1,2,...,m.

Die Funktion ${\displaystyle \mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}:[0,1]\to \mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ werde wie folgt definiert:

${\displaystyle \mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=1}$, falls${\displaystyle \underset{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \{1,2,\mathrm{...},\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\}}{\mathrm{min<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$|x-${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$|${\displaystyle \le \mathrm{ϵ<mspace\; width="0.12em"></mspace>}/4\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$, sonst ${\displaystyle \mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{ϵ<mspace\; width="0.12em"></mspace>}/2}$.

Man überlegt sich leicht, dass ${\displaystyle \mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ eine Treppenfunktion ist. Es gilt ${\displaystyle {\int }_0^1\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\le \mathrm{ϵ<mspace\; width="0.12em"></mspace>}/2+\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{ϵ<mspace\; width="0.12em"></mspace>}/2\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{ϵ<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$.

Ich würde gerne wissen, ob diese Treppenfunktion auch für meine Aufgabe geeignet ist.

Gruß DerGraf

Danke für die schnelle Antwort. Mir stellt sich nur noch die Frage, warum das Integral nach Konstruktion gleich 0 sein soll? Für die Rationalen Zahlen zwischen 0 und 1 ist f(x) doch ungleich 0. Das Integral einer Funktion ist doch eine eine Fläche und es fällt mir schwer zu glauben, dass die Fläche der Funktion zwischen 0 und 1 gleich 0 sein soll. Könntest du mir dies vielleicht etwas nähr erläutern?

Gruß DerGraf

Danke für deine Hilfe. Damit hab ich wieder was gelernt :)