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Welche Ableitung verwende ich um Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte zu berechnen??
Schüler Fachschulen, 13. Klassenstufe
Tags: Analysis
 
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Ich hab ein riesiges Problem... ich war lange Zeit krank als wir das in der schule durchgenommen haben. Und vorallem wie muss ich vorgehen wenn ich Nullstellen, Extremwert (Hoch und Tiefpunkt), Wendepunkte berechnen soll. Ich weiß dass ich dafür die 1. bis 3. Ableitung brauche, aber welche für was und wie weiter. Wäre lieb wenn, das extrem schnell gehen würde. Danke |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Ableitung (Mathematischer Grundbegriff) Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff) Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff) Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff) Wendepunkte (Mathematischer Grundbegriff) | |
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anonymous 10:39 Uhr, 03.06.2005 |
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Hallo! Das ist gar nicht schwer, du musst es dir nur einmal merken! Nehmen wir als Beispiel f(x)=2x^3-5x^2 f'(x)=6x^2-10x f''(x)=12x-10 f'''(x)=12 Gut, nun -die Nullstellen: Hierfür muss f(x)=0 sein, denn der y-Wert muss an dieser Stell ja null sein. In unserem Beispiel: 2x^3-5x^2=0 x^2(2x-5)=0 x=0 v x=2.5 Das heißt, es gibt 2 Nullstellen: N1(0/0), N2(2.5/0) -die Extremstellen: Hierfür muss f'(x), die erste Ableitung, null sein. Also 6x^2-10x=0 x(6x-10)=0 x=0 v x=5/3 x=0 und x=5/3 sind nun aber zunächst MÖGLICHE Extremstellen, da f'(x)=0 die notwendige Bedingung für Extremstellen ist. Die hinreichende Bedingung besagt, dass f''(x) ungleich null sein muss. Das heißt, du musst die möglichen Extremstellen in die zweite Ableitung einsetzen: f''(0)=-10 also ungleich null, also Extremstelle bei x=0 Da beim Einsetzen in die zweite Ableitung nun -10 herauskam, also eine negative Zahl, kann man außerdem erkennen, dass hier ein Hochpunkt vorliegt! f''(5/3)=10, also auch Extremstelle, außerdem positive Zahl, also Tiefpunkt Wir haben also H(0/0) und T(5/3;y) -die Wendestellen Die notwendige Bedingung für eine Wendestelle ist f''(x)=0 12x-10=0 x=5/6 Die hinreichende Bedingung ist f'''(x) ungleich null f'''(5/6)=12 also auf jeden Fall ungleich null, also liegt auch eine Wendestelle vor. Außerdem kann man sagen, dass es sich, wenn beim Einsetzen in die dritte Ableitung eine negative Zahl herauskommt, um eine Links-Rechts-Wendestelle und wenn eine positive Zahl herauskommt um eine Rechts-Links-Wendetstelle handelt. Wir haben also R-L-W (5/6;y) Das war's schon! Du kannst ruhig nochmal nachfragen! LG! <u> |
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anonymous 10:46 Uhr, 03.06.2005 |
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Hallo Trivia, das ist eigentlich recht einfach. Ich gehe davon aus , daß du die Schritte bis zu den Ableitungen verstanden hast bzw. selbst rechnen kannst. Für Nullstellen gilt folgendes: f(x)=0 z.B sei f(x)=3x^2-2x-5, dann gilt: 3x^2-2x-5=0, dies ausgerechnet ergibt: 3x^2-2x=5 anders: x(3x-2)=5. Hieraus erkennt man durch überlegen, daß x1=1 und x2=2 sein muss. In der Rückrichtung eingesetzt eribt nämlich:3*(1)^2-2*2=5. Also wäre die Nullstelle hier N(1/2). Für Existenz von Extrema: Wobei für Hochpunkt H(x/f(x))gilt:f´(x)=0 und f´´(x)kleiner als 0 sein muss. Für einen Tiefpunkt T(x/f(x))ist zu zeigen, daß f´(x)=0 und f´´(x) größer als 0. In unserem Bsp.: f´(x)=6x-2 daraus: 6x-2=0 6x=2 x1=1/3. Diese 1/3 setzt du in f(x) ein und rechnest aus. Dann bekommst Du x2=1/9. Du siehst wenn du die 1/9 in f´´ einsetzt, daß dein Ergebnis größer als 0 ist, du also einen Tiefpunkt hast, der lautet: T(1/3/1/9) Für Wendepunkte gilt: Es exiestiert ein Wendepunkt W(x/f(x)) wenn f´´(x)=0 erfüllt ist. Bei uns : f´´(x)=6. Du siehst aber daß 6 natürlich ungleich 0 ist, damit also kein Wendepunkt existiert. Ich hofe Du verstehst mein Beispiel. Die Funktion ist von mir ausgedacht weil ich leider keine passenden Bücher mehr zu diesem Thema besitze. In deinen Büchern werden sicher etwas sinnvollere Funktionen sein. Viel Spaß beim Rechnen. Europa |
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