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Wie integriert man dt?

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: dt, dx nach dt oder dt nach dx, Integral, Integration

Mi-ra aktiv_icon

14:22 Uhr, 17.03.2012

Hallo,

ich soll meinem Bruder folgende Aufgabe erklähren, leider nur habe ich damals auf einer Fachschule mein Abi gemacht und habe von dieser Art Aufgabe kaum mehr bzw. keine Ahnung.

Das Integral von 12a^2*8b^3*7ct

d t

soll in 12a^2*8b^3*7ct^2/2+c integriert werden.

Ist es jetzt sehr wichitg, dass dort

d t

statt

d x

steht (ich kenne das nur mit

d x)

und warum ändert sich NUR 7ct?
Ich musste damals nur Produkt- und Kettenregel können, aber die greifen hier nicht, oder?

Bitte einfch den Lösungsweg aufschreiben, wenn jemand helfen kann. Wenn ich das nochmal sehe kann ich ihm das schon irgendwie aufschlüsseln.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

anonymous

15:02 Uhr, 17.03.2012

Mit

d t

geht das im Prizip genauso, wie du es mit

d x

kennst. Nur das jetzt eben

t

statt

x

die Integrationsvariable ist.

Genauso wie man die Gleichung

2 x = 4

nach

x

auflösen kann

(x = 2),

kann man eine Gleichung

2 t = 4

nach

t

auflösen

(t = 2)

.

Du könntest also zum Beispiel auch sagen, dass du die Variable

t

ab sofort

x

nennen willst (natürlich nur, wenn

x

noch nichts anderes bezeichnet) bzw. umgekehrt.

Wenn du nun also das entsprechende Integral

...

\int (12 a^{2} \cdot 8 b^{3} \cdot 7 c \cdot x d x) = 12 a^{2} \cdot 8 b^{3} \cdot 7 c \int (x d x) = 12 a^{2} \cdot 8 b^{3} \cdot 7 c \cdot \frac{x^{2}}{2} + C

...

mit

x

lösen kannst, geht das mit

t

genauso, da sich beides eigentlich nur dadurch unterscheidet, wie du die Variable nennst. Also:

\int (12 a^{2} \cdot 8 b^{3} \cdot 7 c \cdot t d t) = 12 a^{2} \cdot 8 b^{3} \cdot 7 c \int (t d t) = 12 a^{2} \cdot 8 b^{3} \cdot 7 c \cdot \frac{t^{2}}{2} + C

Du musst also nur das

t

genauso behandeln, wie du auch das

x

behandeln würdest.

Nun nochmals zum eigentlichen Lösen des Integrals:

1. Schritt:
Da der Faktor

12 a^{2} \cdot 8 b^{3} \cdot 7 c

nicht von der Integrationsvariablen

t

abhängt, kann dieser Faktor als konstant betrachtet und vor das Integral gezogen werden.

\int (12 a^{2} \cdot 8 b^{3} \cdot 7 c \cdot t d t) = 12 a^{2} \cdot 8 b^{3} \cdot 7 c \int (t d t)

Denn für Faktoren

C,

die nicht von der Integrationsvariablen abhängen, gilt:

\int_{a}^{b} (C \cdot f (x) d x) = C \cdot \int_{a}^{b} (f (x) d x)

2. Schritt:

\int (t d t) = \frac{t^{2}}{2} + C^{⋆}

Schließlich gilt umgekehrt auch:

f (t) = \frac{1}{2} \cdot t^{2} \Rightarrow \frac{d f}{d t} (t) = t

Dies ist ein einfaches Grundintegral und ein Spezialfall von

...

\int (x^{n} d x) = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C^{⋆}

...

für

x = t

und

n = 1

.

Daher gilt:

\int (12 a^{2} \cdot 8 b^{3} \cdot 7 c \cdot t d t) = 12 a^{2} \cdot 8 b^{3} \cdot 7 c \int (t d t) = 12 a^{2} \cdot 8 b^{3} \cdot 7 c \cdot \frac{t^{2}}{2} + C

Mi-ra aktiv_icon

12:27 Uhr, 18.03.2012

Aha, verstehe. Vielen Dank.

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