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integralrechnung mit substitution und bruch

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Bruch, Integral, Substitution

Tina1991 aktiv_icon

10:50 Uhr, 09.01.2010

Halloo
Meine Aufgabe sieht folgerndermaßen aus:
Das Integral soll von 0 bis 1 bestimmt werden und die Stammfunktion ebenfalls.

Die Aufgabe :

\int^{1} \frac{- 6 x}{{(4 - 3 x^{2})}^{2}} d x

0
Ansätze zur Lösung:

f (z) = \frac{1}{z^{2}}

g (x) = 4 - 3 x^{2}

g' (x) = - 6 x

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

anonymous

11:16 Uhr, 09.01.2010

zuerst substituierst du

z (x) = 4 - 3 x^{2}

da du jetzt ein

z

in deinem integral stehen hast, musst du auch noch das

d x

als

d z

ausdrücken.

z' (x) = \frac{d z}{d x} = - 6 x \Leftrightarrow d x = \frac{d z}{- 6 x}

\to \int \frac{- 6 x}{z^{2}} \frac{d z}{- 6 x} = \int \frac{1}{z^{2}} d z = - \frac{1}{z} = \frac{1}{3 x^{2} - 4}

Tina1991 aktiv_icon

12:04 Uhr, 09.01.2010

Also ist

\frac{1}{3 x^{2} - 4}

dann die Aufleitung ?! versteh ich das so richtig?!
Muss ich dann 0 und 1 einsetzen und das dann voneinander abziehen sodass ich auf das Ergebnis komme??

Danke schonmal im Voraus :-)

anonymous

12:06 Uhr, 09.01.2010

genau, wenn du die rücksubstitution machst, kannst du auch wieder die alten grenzen einsetzen und wenn du zur probe

\frac{1}{3 x^{2} - 4}

ableitest, kommt auch wieder die zu integrierende funktion raus

Tina1991 aktiv_icon

12:10 Uhr, 09.01.2010

okay...ich glaub ich steh etwas aufn schlauch...unser lehrer hat bei einem beispiel substituiert aber nich resubstituiert...
ich rechne das mal eben so wie ich das meine und schreib mein ergebnis auf. Mal schaun ob du das auch so meinst xD

anonymous

12:11 Uhr, 09.01.2010

ok^^

Tina1991 aktiv_icon

12:12 Uhr, 09.01.2010

Ähm also ich hab da

- \frac{3}{4}

raus als Flächeneinheit :-D)
wird dann ja zu

\frac{3}{4}

weil gibt ja keine negative FE.
Ich glaub das passt nich wirklich?!

anonymous

12:22 Uhr, 09.01.2010

also ersteinmal:

leitest du

\frac{1}{3 x^{2} - 4}

mit der quotientenregel ab, erhältst du:

\frac{- 6 x}{{(3 x^{2} - 4)}^{2}}

du könntest auch noch die

- 1

ausklammern:

\frac{- 6 x}{{(- 1)}^{2} {(4 - 3 x^{2})}^{2}} = \frac{- 6 x}{{(4 - 3 x^{2})}^{2}}

so wenn du nun die grenzen einsetzt kommt tatsächlich

- \frac{3}{4}

raus, da

- 1 - - \frac{1}{4} = - \frac{3}{4}

ist ;-)

und wenn du dir die zeichnung ansiehst, siehst du dass die fläche, die du berechnet hast im negativen bereich der y-achse liegt. der flächeninhalt selbst ist natürlich positiv, aber das integral ist negativ.

wenn du nicht rücksubstituieren willst, musst du die grenzen in die funktion einsetzen (ist im prinzip das selbe)

z (1) = 1

z (0) = 4

und damit ist das integral

- \frac{1}{z (1)} - - \frac{1}{z (0)} = - \frac{1}{1} - - \frac{1}{4} = - 1 + \frac{1}{4} = - \frac{3}{4}

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

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Tina1991 aktiv_icon

12:33 Uhr, 09.01.2010

Jaa supiii
also die Stammfunktion ist dann

\frac{1}{3 x^{2} - 4}

wenn ich jetzt alles verstanden habe und das ergebnis ist

\frac{3}{4}

Fe groß und joa...wenn du mir noch verraten würdest wie du auf den ersten schritt gekommen bist. mit

z' (x) = \frac{d z}{d x} = - 6 x

den schritt kenn ich nichtxD

Du scheinst mathestudent zu sein?^^

anonymous

12:38 Uhr, 09.01.2010

nene, blos nicht

⋀ ⋀

die anwendung reicht mir vollkommen aus.

öh joa.

die ableitung einer funktion

f (x)

ist ja eigentlich so definiert:

lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ f}{Δ x}

und unendlich kleine differenzen bezeichnet man als differentiale und werden mit einem kleinen

d

geschrieben

lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ f}{Δ x} = \frac{d f}{d x}

das

f' (x)

ist nur eine schreibweise. soweit ich weiss, darf man auch nicht ohne weiteres mit diesen differentialen rumrechnen, aber wen interessiert schon mathematische korrektheit;-)

Tina1991 aktiv_icon

12:40 Uhr, 09.01.2010

Ok hät ich inner

11

gewusst wie schwer mathe Lk wird hät ichs gelassen^^

Naj dann bedank ich mich dafür und ich komm nochmal auf dich zurück^^ weil du scheinst ja mathe zu können ;-)

Schönes WE

Tina1991 aktiv_icon

12:44 Uhr, 09.01.2010

Alles geklärt :-)

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