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komplexe Nullstellen berechnen

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Nullstellen

dreamerkid aktiv_icon

13:11 Uhr, 19.07.2009

Halli Hallo , ich bräuchte ma eben Hilfe bei folgender Aufgabe:

Ich hab die komplexe Polynomfunktion

$P : ℂ \to ℂ$ mit $P (x) : = x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$

und soll die komplexen Nullstellen von P berechnen

also ich weiß das es bei der kubischen Funktion min eine gibt und max drei

und eine habe ich durch einsetzen schon gefunden, die 1 aber könnte mir

jemand vielleicht zeigen wie ich das formal ausrechenen muss, also gleich Nullsetzen,

weiß ich, aber mich verwirren

imma die mehreren x-e in der Funktion

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
Nullstellen bestimmen
Polynomdivision

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
Nullstellen bestimmen

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DK2ZA aktiv_icon

14:41 Uhr, 19.07.2009

Jetzt kommt die Polynomdivision, um den Funktionsterm in Faktoren zu zerlegen:

(x^{3} - x^{2} + 4 \cdot x - 4) : (x - 1) = x^{2} + 4

Damit:

P (x) = (x^{2} + 4) \cdot (x - 1)

Die Nullstellen von

x^{2} + 4

berechnen:

x^{2} + 4 = 0

x^{2} = - 4

x_{1} = 2 \cdot i

x_{2} = - 2 \cdot i

GRUSS, DK2ZA

dreamerkid aktiv_icon

15:50 Uhr, 19.07.2009

kann mir da jemand helfen is echt wichtig

dreamerkid aktiv_icon

15:53 Uhr, 19.07.2009

aha , gibt es da ne Regel wann man die Polynomdivision anwendet ?

Und ist das mit der 1 als Nullstelle richtig ?

dreamerkid aktiv_icon

15:56 Uhr, 19.07.2009

ich hab gelesen , dass die Polynomdivion beim Lösen von Gleichungen

höheren Grades genutzt wird ,

ab wann ist denn eine Gleichung höheren Grades ?

dreamerkid aktiv_icon

17:37 Uhr, 19.07.2009

und noch ne kurze Frage :), wie bestimmt man die

Linearfaktorzerlegung von

P(x) ??

DK2ZA aktiv_icon

18:01 Uhr, 19.07.2009

Gleichungen vom Grad 1 sind einfach. Gleichungen vom Grad 2 (quadratische Gleichungen) löst man durch quadratische Ergänzung oder mit Hilfe der Lösungsformel (Mitternachtsformel).

Für Gleichungen vom Grad 3 oder 4 gibt es exakte Lösungsverfahren, die aber kompliziert sind.

Für Gleichungen fünften und höheren Grades gibt es solche Verfahren nicht.

In der Praxis löst man Gleichungen ab Grad

3 (=

höheren Grades) mit Hilfe des Computers numerisch oder man findet durch Probieren, evtl. mit Computerhilfe eine Lösung

x_{1}

. Dann kann man den Gleichungsterm durch

(x - x_{1})

dividieren (Polynomdivision) und erhält einen Term, dessen Grad um 1 kleiner ist und dessen Nullstellen sich leichter bestimmen lassen.

Bei deiner Aufgabe hast du die Nullstelle

x_{1} = 1

durch Probieren gefunden.

Dann wurde der Term durch

(x - 1)

dividiert und hatte noch den Grad 2. Das brachte die Nullstellen

x_{2} = 2 \cdot i

und

x_{3} = - 2 \cdot i

.

Der Term kann also so in Linearfaktoren zerlegt werden:

x^{3} - x^{2} + 4 \cdot x - 4 = (x - 1) \cdot (x - 2 \cdot i) \cdot (x + 2 \cdot i)

GRUSS, DK2ZA

dreamerkid aktiv_icon

18:03 Uhr, 19.07.2009

asoo, noch ne kleine Frage diese (x-1) haben wir woher ?

DK2ZA aktiv_icon

18:09 Uhr, 19.07.2009

Dass

x^{3} - x^{2} + 4 \cdot x - 4

die Nullstelle

x_{1} = 1

besitzt hast du erraten oder ausprobiert (man probiert immer

0, 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 4, - 4, 5, - 5)

.

Der Term ist dann durch

(x - x_{1}),

hier also durch

(x - 1)

teilbar.

GRUSS, DK2ZA

dreamerkid aktiv_icon

20:05 Uhr, 19.07.2009

ahhh ok und jetzt noch ne allerletzte kleine Frage wieso sind die beiden

Nullstellen 2*i und -2*i und nich nur 2 ?

ach und noch eine Frage welche von den Nullstellen sind reell?

Danke schonmal :)

DK2ZA aktiv_icon

20:25 Uhr, 19.07.2009

Die Nullstellen von

x^{2} + 4

bekommst du so:

x^{2} + 4 = 0

x^{2} = - 4

x^{2} = 4 \cdot (- 1)

x_{2} = + \sqrt{4 \cdot (- 1)} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{- 1} = 2 \cdot i

x_{3} = - \sqrt{4 \cdot (- 1)} = - \sqrt{4} \cdot \sqrt{- 1} = - 2 \cdot i

Nullstellen ohne

i

sind reell, die mit

i

sind komplex.

Also ist

x_{1} = 1

reell.

GRUSS, DK2ZA

dreamerkid aktiv_icon

20:29 Uhr, 19.07.2009

hmm aber wieso mache wir denn

$x^{2} = 4 * (- 1)$

kann man noch einfach die wurzel von 4 nehmen ? also

x= 2

wieso rechnet man da jetzt noch mit (-1)

DK2ZA aktiv_icon

20:32 Uhr, 19.07.2009

x^{2} = - 4

und

x^{2} = 4

sind VERSCHIEDENE Gleichungen. Du kannst nicht einfach ein Minuszeichen weglassen!

GRUSS, DK2ZA (bin jetzt weg)

dreamerkid aktiv_icon

20:34 Uhr, 19.07.2009

ja ok , aba kann man da nich einfach x2= 2 und x3=-2 schreiben?

DK2ZA aktiv_icon

08:37 Uhr, 20.07.2009

Für die Gleichung

x^{2} = - 4

ist weder 2 noch

- 2

eine Lösung, denn

2^{2} = + 4

und

{(- 2)}^{2} = + 4,

nicht

- 4

.

Dagegen ist

2 \cdot i

eine Lösung, denn

{(2 \cdot i)}^{2} = 2^{2} \cdot i^{2} = 4 \cdot (- 1) = - 4

und auch

{(- 2 \cdot i)}^{2} = {(- 2)}^{2} \cdot i^{2} = 4 \cdot (- 1) = - 4

GRUSS, DK2ZA

dreamerkid aktiv_icon

11:21 Uhr, 20.07.2009

ahhh jetzt versteh ich , stimmt ja i ist ja (-1)

vielen Dank :)

DK2ZA aktiv_icon

15:39 Uhr, 20.07.2009

i

ist NICHT

- 1

i = \sqrt{- 1}

i \cdot i = i^{2} = - 1

GRUSS, DK2ZA

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