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unbestimmtes Integral mit Bruch lösen

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Integral

muschas1 aktiv_icon

12:02 Uhr, 25.09.2014

Hallo,

ich weiss wie man ein unbestimmtes Integral die Menge aller Stammfunktionen

+ C

ist.

Allerdings weiss ich nicht wie ich das bei so einem Bruch anwenden soll.

In Summanten kann ich den bruch auch nicht einfach aufteilen und dann abarbeiten...

Die Aufgabe lautet:

S (\frac{3 x - 5}{x^{2} + 3 x - 4}) d x

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Loewe1

12:05 Uhr, 25.09.2014

Hallo,

Das funktioniert mit Partialbruchzerlegung . Forme dazu den Nenner um.
(Nullstellen bilden und ala Linearfaktoren darstellen)

= \int \frac{3 x - 5}{(x - 1) (x + 4)} d x

Hast Du schon mit Partialbruchzerlegung gearbeitet?

muschas1 aktiv_icon

12:29 Uhr, 25.09.2014

Bis jetzt nicht. Über die Pq Formel habe ich die beiden Nullstellen 1 und

- 4

bekommen.

Soweit habe ich es verstanden. wie geht es jetzt weiter?

Loewe1

12:50 Uhr, 25.09.2014

Jetzt mußt Du über den folgenden Ansatz A und

B

bestimmen:

= \frac{3 x - 5}{(x - 1) (x + 4)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 4}

Durch Multplizieren mit dem Hauptnenner entseht:

3 x - 5 = A (x + 4) + B (x - 1)

Bestimmung von A und

B

durch Einsetzen der Nullstellen des Nenners:

x = 1 : - 2 = 5 A \to A = - \frac{2}{5}

x = - 4 : - 17 = - 5 B - - - \to B = \frac{17}{5}

- - - - - - - \to \int (- \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{17}{5} \cdot \frac{1}{x + 4}) d x

Dieses Integral spaltest Du in 2 Teilintegrale auf, die dann einfach zu lösen sind.

muschas1 aktiv_icon

13:10 Uhr, 25.09.2014

Also ich habe das mit gerechnet und kann deinen Schritten folgen.

Wie soll ich das Integral jetzt trennen das es einfach zu lösen ist?

Loewe1

13:42 Uhr, 25.09.2014

\int (- \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{17}{5} \cdot \frac{1}{x + 4}) d x

= \int (- \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{x - 1}) d x

+ \int (\frac{17}{5} \cdot \frac{1}{x + 4}) d x

Die Konstante wird dann vor das Integral geschrieben.

muschas1 aktiv_icon

14:22 Uhr, 25.09.2014

Ich komme dann auf:

(- \frac{2}{5}) ln (x - 1) + (\frac{17}{5}) ln (x + 4)

Bin ich damit fertig?

Loewe1

14:29 Uhr, 25.09.2014

Es muß heissen:

ln | x + 4 |

und

ln | x - 1 |

und

+ C

fehlt , ansonsten stimmt das Ergebnis und Du bist fertig.

muschas1 aktiv_icon

14:32 Uhr, 25.09.2014

Die konstanten können aber nicht weggelassen werden oder?

seckel007 aktiv_icon

14:48 Uhr, 25.09.2014

Genau, es muss heißen

- \frac{2}{5} ln (| x - 1 |) + \frac{17}{5} ln (| x + 4 |) + C

Loewe1

14:56 Uhr, 25.09.2014

Die konstanten können aber nicht weggelassen werden oder? nein

Ja, aber die runden Klammern kannst Du weglassen, dafür stehen die Betragsstriche.

muschas1 aktiv_icon

15:54 Uhr, 25.09.2014

Alles klar danke!!!

Loewe1

15:57 Uhr, 25.09.2014

Warum schreiben wir das ganze doppelt auf aber nur 3 mal

+ C

?

->Ich verstehe die Frage nicht, das Ergebnis steht doch da .

Wo steht 3 mal

+ C

? Und was ist doppelt?

muschas1 aktiv_icon

16:35 Uhr, 25.09.2014

Ich habe hier ab und zu das Problem, das teile der Rechnung doppelt geschrieben werden. Wenn ich dann die Seite neu laden steht es wieder richtig nur einmal da. Daher meine kurzzeitige Verwirrung.

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