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1. Ableitung von Bruch mit Wurzel

Universität / Fachhochschule

Tags: Differenzieren, Kettenregel, Produktregel, Quotientenregel

Markus79 aktiv_icon

10:25 Uhr, 02.03.2010

Hallo zusammen,

wer kann mir bei der folgenden Aufgabe helfen?

Berechnen Sie die 1.Ableitung

f'

von

f (x) = \frac{1}{2} \cdot

x²-1/Wurzel aus 2x²-1

Das erste soll ein Bruch sein

(1

durch

2)

und nicht

12!

danke und lg markus

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kettenregel
Quotientenregel
e-Funktion

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Schoepsd aktiv_icon

11:05 Uhr, 02.03.2010

Moin

Also ich kann dir nur bei deinem

(\frac{1}{2}) \cdot x^{2} - 1

helfen (das mit der wurzel behersche ich auch nicht wirklich) aber vll. hilft dir das schon!??

Also die ableitung von deinem

x^{2}

ist ja

2 \cdot x

somit steht dann dort:

(\frac{1}{2}) \cdot 2 \cdot x - 1

zusammengefasst

= x - 1

|da du ja die

(\frac{1}{2})

mal den

2 \cdot x

nimmst!

LG

Zeus11 aktiv_icon

11:17 Uhr, 02.03.2010

Du brauchst hier die quotienten regel
wenn

f (x) = \frac{u}{v}

und das wäre der fall falls deine funktion so aussieht:

\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} - 1}{\sqrt{2 x^{2} - 1}}

dann ist

f' (x) = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^{2}}

und zur ableitung der wurzel

\sqrt{2 x^{2} - 1}

um das abzuleiten nutzt man die ketten regel
ist vllt einfacher anzuwenden wenn man die wurzel im exponenten audrückt
also so

{(2 x^{2} - 1)}^{0,5}

und jetzt gilt außere ableitung mal innere
also

2 \cdot 2 x \cdot 0,5 \cdot {(2 x^{2} - 1)}^{- 0,5} = \frac{2 x}{{(2 x^{2} - 1)}^{0,5}} = \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}}

Markus79 aktiv_icon

11:38 Uhr, 02.03.2010

Hallo nochmal,

ok das ich die Qotientenregel anwenden muss ist mir klar. Die lautet ja:

u

durch

v = u' \cdot v -

u*v'durch v²

stimmt das jetzt(mit den oben genannten Angaben):

u =

x²-1

u' = 2 x

v =

Wurzel aus 2x²-1

v' =

0,5*(2x²-1)*4x
v²

= (2 x - 1)

müsste so passen oder???

Edddi aktiv_icon

11:57 Uhr, 02.03.2010

...dein

v'

sieht etwas komisch aus.

v = \sqrt{2 \cdot x^{2} - 1}

Kettenregel anwenden!

v = {(2 \cdot x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}

v' = \frac{1}{2} \cdot {(2 \cdot x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 4 \cdot x = \frac{4 \cdot x}{2 \cdot \sqrt{2 \cdot x^{2} - 1}} = \frac{2 \cdot x}{\sqrt{2 \cdot x^{2} - 1}}

...und dein

v^{2}

solltest du auch mal überdenken!

;-)

Zeus11 aktiv_icon

11:59 Uhr, 02.03.2010

v' = 0,5 \cdot {(2 x^{2} - 1)}^{- 0,5} \cdot 4 x

bei dir fehlen die hoch

- 0,5

v^{2} = (2 x^{2} - 1)

da fehlt das

x

hoch 2 bei dir
hast du aber vermutlich nur vergessen^^

Markus79 aktiv_icon

12:15 Uhr, 02.03.2010

hallo nochmal,

also laut meiner Angabe ist

v =

Wurzel aus 2x²-1.
Das kann man ja auch so schreiben: (2x²-1)^0,5 oder?

dann wäre ja

v' =

0,5*(2x²-1)*4x oder denk ich da falsch???

und v²= (2x²-1) stimmts?

Zeus11 aktiv_icon

12:22 Uhr, 02.03.2010

also

v^{2}

ist jetzt richtig :-)

jetzt zu

v'

bei der ketten regel wird vom exponenten immer 1 abgezogen genauso wie wenn man

x^{2}

ableitet

x^{2} \to 2 \cdot x^{2 - 1} = 2 \cdot x

oder auch bei

x^{0,5} \to 0,5 \cdot x^{0,5 - 1} = 0,5 \cdot x^{- 0,5}

gleichens auch bei

{(2 x^{2} - 1)}^{0,5}

da wird auch von der

0,5

eins abgezogen
also ist die richtige lösung

0,5 \cdot {(2 x^{2} - 1)}^{- 0,5} \cdot 4 x

Markus79 aktiv_icon

12:25 Uhr, 02.03.2010

also könnte man vereinfacht auch sagen:

v' =

(2x²-1)*4x oder nicht? Das

0,5 - 0,5

hebt sich somit ja auf oder?

Zeus11 aktiv_icon

12:29 Uhr, 02.03.2010

aber man rechnet nicht

- 0,5

sonder

- 1

0,5 \cdot 4 x {(2 x^{2} - 1)}^{0,5 - 1} = 0,5 \cdot 4 x {(2 x^{2} - 1)}^{- 0,5}

und nach deiner rechnung wäre ja

0,5 - 0,5 = 0

und

{(2 x^{2} - 1)}^{0} = 1

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