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Ableitung des komplexen logarithmus

Universität / Fachhochschule

Tags: Funktionentheorie, Komplexe Analysis

MrJegger aktiv_icon

17:31 Uhr, 01.01.2013

Hi,
ich kann aktuell nicht verstehen, wiso Folgendes im Hauptzweig gilt:

Log´(z)

= \frac{1}{z}

mit

z \in C

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

pwmeyer aktiv_icon

18:06 Uhr, 01.01.2013

Hallo,

das ist eine direkte Folgerung des Satzes über die Differentiation der Umkehrfunktion.

Alternativ musst Du von einer konkreten Definition von Log ausgehen und nachrechnen. Welche habt Ihr denn?

Gruß pwm

MrJegger aktiv_icon

15:29 Uhr, 02.01.2013

Hi pwmeyer,

danke für die schnelle Antwort. Den Satz über die Differentiation der Umkehrfunktion habe ich mir angeschaut, der ist okay. Grafisch kann man sich den anhand einer Spiegelung an der Hauptdiagonalen herleiten, also nicht im komplexen.

f^{- 1'} (f (z)) = \frac{1}{f'} (z)

Noch mal der Gegenstand der Begierde

=) :

Log'(z)

= \frac{1}{z}

Mein Ansatz war jetzt erstmal, dass

z

irgendwie die Umkehrfunktion von Log(z) sein muss. Also:

z = a + j b = r e^{j φ} = e^{log (r) + j φ} = e^{w}

Dann habe ich beim Einsetzen:

Log'

(e^{w}) = \frac{1}{e^{w}}

Das heißt

w' = \frac{1}{e^{w}}

Irgendwie habe ich das Gefühl, dass das zu nix führt.

Die andere Variante wäre ja über die Taylorreihe:

ln (z) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{n} {(z - 1)}^{n}

ln' (z) = \sum_{n = 1}^{\infty} {(- (z - 1))}^{n - 1} = \frac{1}{1 + z - 1} = \frac{1}{z}

Wobei ich da sagen muss, dass mir der Schritt:

\sum_{n = 1}^{\infty} {(- (z - 1))}^{n - 1} = \frac{1}{1 + z - 1}

nicht klar ist. Ich hoffe dass es ähnlich wie bei der Geometrischen Reihe ist:

\frac{1}{1 - w} = 1 + w + w^{2} + w^{3} . .

.

Die ist klar, also

\sum_{n = 1}^{\infty} {(w)}^{n - 1} = \frac{1}{1 - w}

und it

w = z - 1

ist das ja:

\sum_{n = 1}^{\infty} {((z - 1))}^{n - 1} = \frac{1}{1 - z + 1}

Mir fehlt da das Vorzeichen zum Verständnis....

pwmeyer aktiv_icon

18:34 Uhr, 02.01.2013

Hallo,

Du hast doch schon hingeschrieben:

Log'(

e^{w}) = \frac{1}{e^{w}}

also Log'(z)=1/z

Was willst Du mehr?

Gruß pwm

MrJegger aktiv_icon

19:21 Uhr, 02.01.2013

Hmm also hingeschrieben habe ich das in ersten Versuch schon, aber ich habe nicht gezeigt, dass es das Selbe ist.

MrJegger aktiv_icon

19:42 Uhr, 02.01.2013

Juhuu ich habs

=)

Richtiger Riecher

Wenn man die Summe mit den Vorzeichen zerlegt in gerade und ungerade Terme:

f (z) = \sum_{n = 1}^{\infty} {(- w)}^{n - 1} = \sum_{n = g} w^{n} - \sum_{n = u} w^{n}

g:Gerade
u:Ungerade

Dann erhält man für den

lim_{n \to \infty}

\frac{1}{1 - w^{2}} - \frac{w}{1 - w^{2}} = \frac{1 - w}{1 - w^{2}} = \frac{1}{1 + w}

Und dann ist alles wie gehabt...

Und

Log'(z)=

\frac{1}{z}

ist in Butter

=)

Ich denke ich habe noch einen Vorzeichenfehler drin... aber die grobe skizze steht. Werde das jetzt mal ausführlich auf einem Blatt durchrechnen.

Causchy'sche Integralformel, ich komme

=)

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