Ableitung mit Ableitungsregeln (LK Stufe 12)

Wir haben in unserem Mathe-LK folgende Funktion bekommen: ${\displaystyle \frac{{(5-3\sqrt{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}})}^3\cdot (\frac{2}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+4\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}{\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}}$

Wir haben dann in den nächsten Stunden einige neue Ableitungsregeln kennengelernt: Ableitung von Sinus und Cosinus, Verkettungsregel, Produktregel und Quotientenregel. Als Hausaufgabe haben wir jetzt auf, die oben gennante Funktion abzuleiten.

Dies hab ich auch schon getan. Ich habe gesehen, dass die Funktion sich mithilfe der Qutientenregel Ableiten lässt. Dafür brauch ich aber die Ableitung von dem Abschnitt über dem Bruchstrich. Um den Abzuleiten, brauch ich die Produktregel. Für die Produktregel brauch ich die Ableitung der ersten Klammer. Um die Klammer abzuleiten, brauch ich die Verkettungsregel. Ich hab das ganze dann Abgeleitet und folgendes rausbekommen:

${\displaystyle \frac{3\cdot {(5-3{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\frac{1}{2}})}^2\cdot (-\frac{3}{2}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-\frac{1}{2}})\cdot (2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-1}+4\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})+{(5-3{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\frac{1}{2}})}^3\cdot (-2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-2}+4)\cdot {\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)-\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\cdot (5-3{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\frac{1}{2}})}^3\cdot (\frac{2}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+4\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}{{\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}^2}}$

Meine Frage ist jetzt einmal, ob die Ableitung soweit richtig ist und vorallem interessiert mich, ob man diese noch weiter auflösen sollte/kann oder so stehenlassen sollte/muss.

Ist das Ergebnis komplett falsch oder ist nur ein bestimmter Teil falsch?