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Alternative Berechnung der Eulerschen Zahl

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: ALternative, Analysis, Eulersche Zahl, Grenzwert

DerBauerVomLand aktiv_icon

04:04 Uhr, 25.08.2017

Guten Abend miteinander,

ich habe mich in den letzten Tagen vermehrt mit der Eulerschen Zahl - kurz

e -

sowie deren Berechnung herumgeschlagen. Dabei läuft die Berechnung

i . d . R

. folgendermaßen ab:

e = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!}

Gegen Ende erhält man eine Konstante, die dann so aussieht:

e = 2,718281828 . .

.

Mit dem Hintergedanken, vielleicht eine alternative Methode zur Berechnung der Eulerschen Zahl zu finden, habe ich eine Zeit lang experimentiert, bis ich zu folgendem Ergebnis gelangt bin:

e = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{k!}

Auf dieses Weise konnte ich die ersten Nachkommastellen korrekt berechnen - so weit es mein Taschenrechner eben zugelassen hat...

Mein unbeantwortete Frage lautet somit:
Ist auf diese Weise tatsächlich eine präzise Berechnung der Eulerschen Zahl möglich?

Ich frage deshalb, weil ich weder in einem Foreneintrag, noch auf einer Internetseite diese Methode zur Berechnung der Eulerschen Zahl entdecken konnte.

Hoffentlich kann man mir jemand weiterhelfen :-)

Mfg der Bauer lol

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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Logarithmusgesetze - Einführung
e-Funktion

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Edddi aktiv_icon

05:59 Uhr, 25.08.2017

\frac{k}{k!} = \frac{k}{(k - 1)! \cdot k} = \frac{1}{(k - 1)!}

Mit Indexverschiebung erhälst du also wieder erstere Reihe.

:-)

HilbertRaum aktiv_icon

10:10 Uhr, 25.08.2017

"Ist auf diese Weise tatsächlich eine präzise Berechnung der Eulerschen Zahl möglich?"

e bezeichnet jene Zahl, die durch Grenzwertbildung entsteht von:

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}

(bzw. deiner bereits angegebenen Reihe).

Die Frage ist, was du unter "präzise" verstehst. Wenn du meinst, damit den Grenzwert bis auf die z.B.

1 0^{1000}

. Stelle genau zu berechnen, lautet die Antwort ja, prinzipiell, warum auch nicht - wenn du genug Geduld hast.
Allerdings lässt sich zeigen, dass e irrational ist, m.a.W. wie immer auch deine vorher gewählte Präzision lautet, du kannst sie nach der Berechnung noch präziser berechnen ;-).

DerBauerVomLand aktiv_icon

11:50 Uhr, 25.08.2017

Vielen Dank für die schnellen Antworten :-)

Was ich mit "präzise Berechnung" meinte ist mir im Moment auch nicht ganz klar haha. Dennoch danke für den Hinweis. Werde ich bei meinen nächsten Formulierungen bedenken.

ledum aktiv_icon

13:26 Uhr, 25.08.2017

Hallo
die Reihe für

e^{x}

ist

\sum_{k = 0}^{\infty} x^{k} / (k!)

x = 1

ergibt

e

du weisst hoffentlich dass

(e^{x})' = (e^{x})'' = (e^{x})''' = {(e^{x})}^{(n)} = e^{x}

ist. damit kannst du viele Summen erzeugen, deine erste benutzt nur

(e^{x})' = e^{x}

umgekehrt kannst du deine "Erkenntnis" und die Indexverschiebung zum Beweis der Ableitungen von

e^{x}

benutzen.
Gruß ledum

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