Analysis [Abweichung vom Grenzwert/Betragsrechng.]

Hallo aus Bremen!

Seid gestern Nachmittag beiße ich mir an dieser Aufgabe die Zähne aus.

Sie lautet:

Bestimmte ab welchem Folgenglied ${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\frac{1-2\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{3\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ weniger als ${\displaystyle \frac{1}{100}}$ (bzw. weniger als ${\displaystyle {10}^{-6}}$ vom Grenzwert abweicht.

Der Grenzwert ist: ${\displaystyle \underset{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{lim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\underset{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{lim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{1-2\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{3\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$, dies ergibt: ${\displaystyle \underset{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{lim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=-\frac{2}{3}}$ oder ${\displaystyle \underset{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{lim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=-0,66666\overline{6}}$.

Wenn ich jetzt eine kleine Abweichung von einem beliebigen Folgenglied vom Grenzwert berechnen will, habe ich dies so gelernt:${\displaystyle |{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}|<\frac{1}{100}}$

Daraus schließt sich dann:

${\displaystyle |\frac{1-2\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{3\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-(-0,66667\left)\right|<\frac{1}{100}}$

Jetzt bringe ich erst einmal die -0,66667 rüber, indem ich sie abziehe, da - - ja gleich + ist.

${\displaystyle |\frac{1-2\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{3\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-(-0,66667\left)\right|<\frac{1}{100}\parallel -0,66667}$

folglich ergibt sich:

${\displaystyle \left|\frac{1-2\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{3\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right|<-0,65667}$

dann bringe ich die 3n rüber, damit sich der Bruch auflöst, also *3n:

${\displaystyle \left|\frac{1-2\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{3\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right|<-0,65667\parallel \cdot 3\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

dies ergibt dann:

${\displaystyle |1-2\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}|<-0,65667\cdot 3\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

dann bringe ich die 2n rüber, indem ich +2n nehme:

${\displaystyle \left|1\right|<-0,65667\cdot 5\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

dann bringe ich die -0,65667 rüber, damit ich n alleine stehen habe:

${\displaystyle \left|1\right|<-0,65667\cdot 5\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\parallel ÷(-0,65667)}$

das ergibt dann:

${\displaystyle |-1,52283|<5\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

dann alles geteilt durch 5 für ein n ergibt:

${\displaystyle |-0,304567|<\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Dies würde ja bedeuten, das ${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ immer um ${\displaystyle \frac{1}{100}}$ vom Grenzwert abweicht?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen, denn dies ist nicht der Fall, erst ab dem ${\displaystyle \approx 10}$. Folgenglied weicht es um weniger als ${\displaystyle \frac{1}{100}}$ vom Grenzwert ab.