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Analysis: Funktionen modellieren, Schnittpunkt etc

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Abitur, Anwendungsaufgabe, Integral, Modellierung von Funktionen, Schnittpunkt, Schnittwinkel, Tangentengleichung

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11:51 Uhr, 27.03.2016

Hallo, ich lerne gerade für das schriftliche Mathe-Abitur und stecke nun bei einer Aufgabe fest, die ihr unten im Anhang seht. Weiterhin seht ihr auch meine bisherigen Lösungsansätze. Aufgabe

a), b)

und

c)

habe ich bereits gemacht, jedoch bin ich mir nicht sicher, ob die Lösungen richtig sind.

Bei der Aufgabe

d)

und

e)

komme ich leider gar nicht weiter. Ich weiß, dass eine Tangentenfunktion folgendermaßen lautet:

y = m \cdot x + n

Mein Problem war, dass ich für jeweils eine Tangente nur einen Punkt gesehen habe und zwar

P (- 16 | 0)

bei der einen Tangente und bei der anderen

P (16 | 0)

. Außerdem hängt die Steigung doch davon ab, wie die Tangenten angelegt sind, also ob die Tangenten steiler oder eher flacher liegen. Und genau das steht doch nicht in der Aufgabe oder habe ich da was übersehen?

Bei Aufgabe

e)

habe ich leider gar keine Ansätze.

Vielen lieben Dank im Voraus!! :-D)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Schnittpunkte bestimmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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12:03 Uhr, 27.03.2016

Tangentengleichung:

t (x) = y = (x - x_{0}) \cdot f' (x_{0}) + f (x_{0})

x_{0}

und

f (x_{0})

sind die Koordinaten der Punkte P.

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12:12 Uhr, 27.03.2016

Ach so, diese Gleichung gibt es auch, wusste ich gar nicht. Also wäre bei der einen Tangente

x 0 = 16

und was wäre dann x? Was genau ist der Unterschied zwischen

x 0

und x?

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12:35 Uhr, 27.03.2016

Tangente in

(- 16; 0)

y = (x - (- 16)) \cdot \frac{20}{16} + 0 = \frac{20}{16} x + 20 = \frac{5}{4} x + 20

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12:44 Uhr, 27.03.2016

Ach sooo, jetzt habe ich verstanden, was du meinst. Danke! :-)
Aber wie kommst du auf die

\frac{20}{16}

?
Könntest du mir eventuell auch bei

e)

helfen? Wäre super lieb von dir!

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12:59 Uhr, 27.03.2016

Da muss ich leider passen. Mit Kreisgleichung habe ich keine Erfahrung.
Vllt. hilft dir das hier weiter:

http//www.matheboard.de/archive/488855/thread.html

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13:00 Uhr, 27.03.2016

Alles klar, trotzdem danke :-)

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13:04 Uhr, 27.03.2016

Soweit ich sehe, musst du nur die Punkte und den Radius einsetzen. Dies alles ist ja bekannt.

r = 16

Du erhälst ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten.

Roman-22

13:18 Uhr, 27.03.2016

a)

Du rechnest richtig, schreibst aber irrtümlich ganz am Ende in der Funktionsgleichung

\frac{1}{256}

anstelle von

\frac{10}{256}

oder

\frac{5}{128}

.
Auch hier könntest du dir mit der Verwendung der Scheitelform einer Parabelgleichung ein wenig Arbeit ersparen, da du sofort

y = a \cdot x^{2} + 10

ansetzen und den einzig noch fehlenden Koeffizienten a leicht durch Einsetzen der Koordinaten von

(16 / 0)

ausrechnen kannst.

ad

b)

Auch hier scheint dein Stift einmal ausgesetzt zu haben, denn du schreibst

f' (x) = - \frac{5}{6} x

anstelle von

f' (x) = - \frac{5}{64} x

. Du rechnest aber zum Glück mit der richtigen Ableitung weiter.

ad

c)

Hier wirds leider mehrfach falsch.

⋆)

Da die Rechnung ohnedies vom ANsatz her falsch ist, hab ich sie numerisch weiter nicht kontrolliert, aber du hast entweder einen Rechenfehler oder mit ungenauen Werten gearbeitet, denn das Ergebnis sollte bei dir

98,133 t

sein, nicht

98,12 t

⋆)

Wie kommst du beim Integrieren auf

\frac{5}{384}

? Hier wäre entweder

\frac{10}{384}

oder besser

\frac{5}{192}

richtig. Dementsprechend ist die berechnete Fläche unter der Parabel falsch.
EDIT: Fehler von mir! Das Intgeral und die Fläche unter der Parabel sind richtig berechnet. Siehe dazu auch nachstehende Antwort(en).

⋆)

Du hast die Fläche unter der Parabel mit Sandstein verkleidet, sodass nun niemand mehr unter der Brücke durchfahren (oder durchfließen, wenns ein Fluss ist) kann. Die in der Angabe mit Tippfehler geschriebene Fassade ist aber die in der Zeichnung rot hinterlegte Fläche.
Abgesehen davon kann man nun über eine Ungenauigkeit in der Angabe diskutieren. Nämlich ob die Fassade nur auf einer Seite der Brücke verkleidet werden soll oder auf beiden.
Zu deiner Kontrolle das Ergebnis: Je nach Interpretation

78,507 t

oder eben das Doppelte mit

157,013 t

.

ad

d)

Sollte Dank supporter mittlerweile klar sein. Aber auch mit der dir nur bekannten Form der Geradengleichung

y = m \cdot x + n

sollte es dir gelingen, bei Kenntnis des Anstiegs

m (m = f' (16) = - \frac{5}{4}

hast du ja schon berechnet) und eines Punkts

(P_{2} (16 / 0))

durch Einsetzen der Punktkoordinaten in

y = - \frac{5}{4} \cdot x + n

den gesuchten Ordinatenabschnitt

n

zu berechnen.

ad

e)

Naja, du kannst es ganz brutal angehen und in die allgemeine Form einer Kreisgleichung

{(x - x_{M})}^{2} + {(y - y_{M})}^{2} = r^{2}

der Reihe nach die drei bekannten Kreispunkt

P_{1}, P_{2}

und

(0 / 10)

einsetzen. Du erhältst ein (nichtlineares) Gleichungssystem für die drei Unbekannten

x_{M}, y_{M}

und

r,

das du lösen kannst.
Etwas einfacher wird es, wenn du die Symmetrie erkennst und daher schlussfolgerst, dass

x_{M} = 0

sein muss. Dann sinds nur mehr zwei Gleichungen in zwei Unbekannten.

Alternativ kannst du aber auch benutzen, dass sich der Kreismittelpunkt immer auf der Streckensymmetrale je zweier Kreispunkte befindet. Da der Mittelpunkt

M

sicher auf der y-Achse liegt, musst du etwa nur die Mittelsenktrechte der Strecke von

P_{2}

und

S (0 / 10)

mit der y-Achse schneiden.
Diese Aufgabe kannst du nun wieder auf unterschiedliche Art angehen, was immer dir eben geläufig ist. Wenn du gern analytische Geometrie mit Vektoren betreibst, lass dich nicht aufhalten. Oder aber du weißt, dass der Mittelpunkt von

\bar{S P_{2}}

die Koordinaten

H (8 / 5)

haben muss, die Strecke

\bar{S P_{2}}

den Anstieg

- \frac{5}{8}

hat und die Mittelsenkrechte daher den Anstieg

+ \frac{8}{5}

haben muss, durch

H

läuft und du ihre Gleichung daher (siehe

d))

leicht aufstellen kannst.
Kontrolle:

M (0 / - \frac{39}{5} m)

.
Der Radius ist natürlich NICHT

16,

ist aber zum Glück auch gar nicht gefragt. Er wäre

\frac{89}{5} m = 17,8 m

R

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13:28 Uhr, 27.03.2016

"er Radius ist natürlich NICHT 16"

Klar.Danke. Da war ich in Gedanken wohl bei der Parabel.

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13:45 Uhr, 27.03.2016

Hi Roman, erstmal vielen lieben Dank, dass du dir die Zeit genommen hast, meine Lösungsansätze zu kontrollieren!! :-D)
Ich rechne die Aufgabe gleich weiter :-)

Eine Frage hätte ich aber noch:

"Wie kommst du beim Integrieren auf

\frac{5}{384}

? Hier wäre entweder

\frac{10}{384}

oder besser

\frac{5}{192}

richtig."

Ich habe

- \frac{10}{256}

durch 3 geteilt wegen dem

x^{2}

. Ich habe die Funktion

f (x) = - \frac{10}{256} \cdot x^{2} + 10

in einem Online-Integralrechner eingegeben und da kam auch

F (x) = - \frac{5}{384} \cdot x^{3} + 10 x

raus. Oder übersehe ich etwas?

Roman-22

13:51 Uhr, 27.03.2016

>

Oder übersehe ich etwas?
Nein, machst du nicht. Das war Unfug von mir, sorry. Die Fläche unter der Parabel hast du also richtig gerechnet. Weiß nicht mehr, warum ich meinte, dass dein Ergebnis falsch sei - ich hatte ja das gleiche erhalten

: - o

Dein Fehler bei

c)

war also nur das Rechnen mit ungenauen Werten und dass du die falsche Fläche mit Sandstein belegt hast (und evt., dass du nur eine Seite der Brücke verkleidet hast).
Hatte also das gleicher Ergebnis für die Fläche und daher ist meine Kontrolllösung für die Fassadenmasse doch noch korrekt.

R

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14:53 Uhr, 27.03.2016

@ Roman-22
Super, tausend Dank nochmal für deine Hilfe! Ich habe jetzt alles ausgerechnet und bin auch auf die Ergebnisse gekommen, die du errechnet hast. :-)

@ Supporter
Auch bei dir bedanke ich mich für deine Hilfe :-)

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