Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Anwendung Integralrechnung

Anwendung Integralrechnung

Universität / Fachhochschule

Tags: Flächeninhalt, Minimum, Polynomfunktion 4. Grades, Sattelpunkt, Tangent, Wendepunkt

Jonasz aktiv_icon

22:23 Uhr, 07.05.2019

Guten Tag, ich bräuchte eine Lösung zu der Aufgabe bei welcher ich nicht mehr weiter weiß und am besten eine Erklärung.

Aufgabe:
Eine Polynomfunktion 4. Grades hat im Ursprung eine Wendepunkt mit waagrechter Tangente und schneidet die x-Achse an der Stelle

x = 5

. Der Flächeninhalt, den der Funktionsgraph mit der x-Achse einschließt beträgt

31.25

Flächeneinheiten. Ermittle die beiden möglichen Funktionsgleichungen der Polynomfunktionen.

Nun gut mein Ansatz war

\Rightarrow

Polynomfunktion 4. Grades: ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
Wendepunkt mit waagrechter Tangente = Sattelpunkt, daraus folgt:

f'' (0) = 0

f' (0) = 0

f (0) = 0

f (5) = 0

∫0dx-∫f(x)=31.25 FE

Aus den Funktionen mit dem Classpad ein Gleichungssystem lösen lassen.

So hätte ich es versucht, aber die Lösung ist falsch.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Extrema / Terrassenpunkte
Flächeninhalte
Flächenmessung
Kreis: Umfang und Flächeninhalt

Extrema / Terrassenpunkte
Flächeninhalte
Flächenmessung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Roman-22

22:43 Uhr, 07.05.2019

Deine ersten vier Bedingungen sind OK.
Bei deiner letzten Bedingung ist unklar, was du da meinst.
Das bestimmte Integral deiner Funktion in den Grenzen von 0 bis 5 soll

31,25

sein.

Jonasz aktiv_icon

22:48 Uhr, 07.05.2019

Ich habe die normale Flächenformel für Integrale mit beiden Formen angewendet einmal ohne Grenze und einmal mit Grenze, wobei mir nicht klar war ob das Casio Classpad sich die oberen und untere Grenze selbst sucht, aber selbst mit fixer Angabe von unterer 0 und oberer

5,

habe ich nicht die richtige Funktion bzw. Funktionen als Ergebnis erhalten bei der Lösung mit einem Gleichungssystem.

Edit:
Anscheinend war es doch ein Problem mit dem Classpad, mir wurden die alten gespeicherten Variablen des Polynoms von einer anderen Rechnung übernommen.

Korrekte Lösung wäre:

a = 0.2

b = - 1

c, d, e = 0

Roman-22

22:56 Uhr, 07.05.2019

Wie lautet denn die Gleichung in

a, b, c, d

und

e,

welche du aus der letzten Bedingung herauskitzelst?

Casio Classpad sagt mir gar nichts, aber die Vorstellung, dass sich ein elektronischer Rechenknecht die Grenzen automatisch suchen könnte finde ich ein wenig verwegen. Woher sollte dein Gerät denn wissen, welches bestimmte Integral du meinst?
Solange dein Gerät symbolisch integrieren kann sollte das aber bei Angabe der Grenzen klappen.
Wenn nicht würde ich halt händisch integrieren und die sich ergebende Gleichung dann nutzen, um mit deinem Casio Kastel das Gleichungssystem

i

nden fünf Variablen zu lösen.

Dass die Lösung

f (x) := - \frac{1}{5} x^{4} + x^{3}

ist, wirst du ja vermutlich bereits wissen.

EDIT: Sehe du hast inzwischen editiert und eine Lösung erhalten. Sie unterscheidet sich von meiner nur durch die Vorzeichen.
Der Graph meiner Funktion verläuft im Bereich

0 < x < 5

oberhalb der x-Achse, der Graph deiner Funktion ist an der x-Achse gespiegelt.
Das Integral deiner Funktion von 0 bis 5 müsste

- 31,25

ergeben, aber da eine Fläche immer positiv zu nehmen ist, wäre meiner nach auch deine Funktion eine korrekte Lösung (wenn auch nicht die naheliegendste).

Jonasz aktiv_icon

23:00 Uhr, 07.05.2019

Danke für die Antwort, ich war es gewohnt, dass er sie bei manchen Sachen selbst findet, so kann das Classpad

z . B

. bei einer grafischen Lösung, wenn nur 2 Schnittpunkte sind zur x-Achse und sich eine deutliche Fläche abzeichnet nimmt er grundsätzlich die Schnittpunkte bzw. Nullpunkte als obere und untere Grenzen her und berechnet die Fläche. Wenn mehr als wie 2 Nullpunkte vorhanden sind kann man beim Classpad die jeweiligen Punkte auswählen, in welche man die Fläche bemessen will.

Ist eigentlich der beste Rechner den ich je hatte und bei uns auch erlebt zu werden, nur dass die Anleitung alleine irgendwie

300 +

mit wirklich mathematischen Anwendungen lang ist.

Roman-22

23:01 Uhr, 07.05.2019

Ergänzend zum "EDIT" meiner vorherigen Antwort: Die Angabe fordert ohnedies, dass du beide möglichen Funktionsgleichungen angibst. Das hatte ich ursprünglich überlesen.

Jonasz aktiv_icon

23:08 Uhr, 07.05.2019

Die jeweiligen verschiedenen Polynomfunktionen erhält man, ja typischerweise aus dem Gleichungssystem durch die Abänderung der Vorzeichen, wenn ich nicht komplett falsch bin.
Damit wäre die Funktion:

y = - 0,25 x^{4} + x^{3}

Die Denkweise das Gleichungssystem beim Part der Integrale auf eine negative Fläche also

- 31,25

FE zu ändern bringt das selbe Ergebnis, wäre aber falsch gedacht oder ihre ich mich?

Roman-22

23:25 Uhr, 07.05.2019

>

Die jeweiligen verschiedenen Polynomfunktionen erhält man, ja typischerweise aus dem Gleichungssystem durch die Abänderung der Vorzeichen
Was meinst du damit? Welche Vorzeichen änderst du? Wenn du von allen Koeffizienten das Vorzechen änderst, so entspricht das einer Spiegelung des Funktionsgraphen an der x-Achse. Das ändert nichts an den Nullstellen und an der Fläche, ja.

>

Damit wäre die Funktion:

>

y=−0,25x4+x3
Warum

- 0,25

? Du meinst hoffentlich

y = - 0,2 x^{4} + x^{3}

>

Die Denkweise das Gleichungssystem beim Part der Integrale auf eine negative Fläche also

- 31,25

FE zu ändern bringt das selbe Ergebnis, wäre aber falsch gedacht oder ihre ich mich?
Was meinst du damit? Die Funktion, die du erhalten hast liefert

\int_{0}^{5} f (x) d x = - 31,25,

also einen negativen Wert!

Richtig wäre bei der fünften Bedingung ein Ansatz mit der Betragsfunktion

\to | \int_{0}^{5} f (x) d x | = 31,25

und daraus folgen dann eben die beiden Lösungsfunktionen. Also einmal mit

\int . .

= + 31,25

und das zweite Mal mit

\int . .

= - 31,25

.

Du hast offenbar

\int . .

= - 31,25

eingegeben oder aber hast die Integralgrenzen vertauscht und von 5 bis 0 integrieren lassen.

Jonasz aktiv_icon

23:42 Uhr, 07.05.2019

Es war schon y=−0,2x^4+x^3 gemeint, da war ich doch ein wenig zu eilig beim Tippen.

Danke nochmals für die Erklärung, damit habe ich es verstanden, ich war jetzt bei wohl bei meiner Annahme irgendwo geistig komplett bei einem anderen Themenbereich.

Atlantik aktiv_icon

11:18 Uhr, 08.05.2019

"Eine Polynomfunktion 4. Grades hat im Ursprung eine Wendepunkt mit waagrechter Tangente und schneidet die x-Achse an der Stelle x=5."

Lösung mittels Nullstellenform der Parabel 4.Grades:

f (x) = a \cdot x^{3} \cdot (x - 5) = a \cdot x^{4} - 5 a x^{3}

"Der Flächeninhalt, den der Funktionsgraph mit der x-Achse einschließt beträgt

31.25

Flächeneinheiten. "

31,25 = \int_{0}^{5} (a \cdot x^{4} - 5 a x^{3}) d x = {[\frac{a}{5} \cdot x^{5} - \frac{5}{4} a x^{4}]}_{0}^{5} = (625 a - 625 \cdot 5 \frac{a}{4}) - 0

a = - 0,2

f (x) = - 0,2 \cdot x^{3} \cdot (x - 5) = - 0,2 \cdot x^{4} - 5 \cdot (- 0,2) x^{3} = - 0,2 \cdot x^{4} + x^{3}

mfG

Atlantik

Jonasz aktiv_icon

11:29 Uhr, 08.05.2019

Danke für deine weitere Antwort Atlantik, auf deinen Lösungsweg wäre ich persönlich nie gekommen, da mir die Nullstellenform nicht bekannt war. Gibt es hierzu vielleicht irgendwelche Unterlagen oder Videos die du empfehlen kannst, welche mir die Nullstellenform verschiedener Polynomfunktionen nähert bringt?

Atlantik aktiv_icon

11:55 Uhr, 08.05.2019

de.serlo.org/mathe/funktionen/kurvendiskussion/nullstellen/linearfaktordarstellung-polynomfunktion-beliebigen-grades

Es gibt aber bestimmt noch mehr gute Seiten.

Ich wähle meist die Nullstellenform,wenn schon einige Nullstellen festliegen.

Zum Beispiel hat

f (x) = x^{3} \cdot {(x - N_{1})}^{2} \cdot (x - N_{2})

bei

x = 0

einen Sattelpunkt (Dreifachnullstelle) bei

x = N_{1}

einen Extremwert (doppelte Nullstelle9 und bei

x = N_{2}

eine einfache Nullstelle .

mfG

Atlantik

1468712

1468689

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?