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Beispiele für das Produkt zweier Folgen/Grenzwerte

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert, lim

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antoncmd

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11:28 Uhr, 25.11.2018

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Liebes Forum,

eine Aufgabe der Hausaufgaben lautet:

Geben Sie jeweils Beispiele von Folgen

(a_{n})

und

(b_{n})

mit

lim_{n \to \infty} a_{n} = + \infty

und

lim_{n \to \infty} b_{n} = 0

an, sodass

b) lim_{n \to \infty} a_{n} \cdot b_{n} = \infty

Mir sind die allgemeinen Rechenregeln für das Rechnen mit Grenzwerten bekannt, aber ich verstehe nicht, wie ein Produkt, von dem ein Faktor

lim_{n \to \infty} b_{n} = 0

ist, irgendetwas anderes als Null sein kann. Schließlich gilt ja, dass ein Produkt Null ist, wenn einer der Faktoren Null ist.
Genau nach diesem Prinzip habe ich die Aufgabe davor gelöst, wo "

lim_{n \to \infty} a_{n} \cdot b_{n} = 0

" sein sollte.

Ich habe überlegt, ob es irgendein

a_{n}

geben könnte, für welches

b_{n} = \frac{1}{n}

nicht Null ist. Aber da

\frac{1}{n}

als Grenzwert Null hat (wie in der Aufgabenstellung gefordert) weiß ich absolut nicht mehr weiter...

Vielen Dank schon mal für eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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Antwort

Respon

11:31 Uhr, 25.11.2018

Antworten

lim_{n \to \infty} b_{n} = 0

bedeutet nicht, dass es ein

b_{n} = 0

gibt.

antoncmd

antoncmd aktiv_icon

11:38 Uhr, 25.11.2018

Antworten

ja, natürlich. Aber der Grenzwert von

b_{n}

soll Null sein.

Antwort

Respon

11:40 Uhr, 25.11.2018

Antworten

Aber das ist doch kein Problem.

antoncmd

antoncmd aktiv_icon

11:43 Uhr, 25.11.2018

Antworten

Aber beim rechnen mit Grenzwerten ist es doch ein Problem, wenn

+ \infty

raus kommen soll, einer der Faktoren aber

lim_{n \to \infty} b_{n} = 0

ist. Wo habe ich meinen Denkfehler? wenn man

lim_{n \to \infty} a_{n} b_{n} = \infty

zeigen soll und

b_{n}

als Grenzwert 0 hat, ist es doch völlig egal, was

a_{n}

hat, da immer Null herauskommen wird...

Antwort

Respon

11:47 Uhr, 25.11.2018

Antworten

Da hast du einen Gedankenfehler.
Einfaches Beispiel:

a_{n} := n^{2}

lim_{n \to \infty} n^{2} = \infty

b_{n} := \frac{1}{n}

lim_{n \to \infty} b_{n} = 0

antoncmd

antoncmd aktiv_icon

11:50 Uhr, 25.11.2018

Antworten

Nur im sicher zu gehen, dass ich es verstanden habe: in deinem Beispiel wäre es dann

lim_{n \to \infty} (a_{n} b_{n}) = (n^{2} \cdot \frac{1}{n}) = n \to + \infty

. Wäre

a_{n}

nicht

n^{2}

sondern nur

n,

wäre der Grenzwert 0?

Antwort

Respon

11:51 Uhr, 25.11.2018

Antworten

Nein, dann wäre er 1.

antoncmd

antoncmd aktiv_icon

11:53 Uhr, 25.11.2018

Antworten

Achso, weil man sozusagen erst kürzen muss. Was wäre denn ein Beispiel für

a_{n} b_{n} \to 0

?

Antwort

Respon

11:54 Uhr, 25.11.2018

Antworten

a_{n} := n

b_{n} := \frac{1}{n^{2}}

Frage beantwortet

antoncmd

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11:57 Uhr, 25.11.2018

Antworten

ahhh, natürlich :-) Vielen Dank & einen schönen Sonntag!

Antwort

Respon

12:01 Uhr, 25.11.2018

Antworten

"Mir sind die allgemeinen Rechenregeln für das Rechnen mit Grenzwerten bekannt"

lim_{n \to \infty} a_{n} \cdot b_{n} = lim_{n \to \infty} a_{n} \cdot lim_{n \to \infty} b_{n}

NUR dann , wenn sowohl

lim_{n \to \infty} a_{n} = a

und

lim_{n \to \infty} b_{n} = b

EXISTIEREN. Das ist aber in deinem Beispiel nicht gegeben.

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