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Betragsungleichung lösen

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Betrag, Grenzwert, Ungleichung

SuperPaul5000 aktiv_icon

11:57 Uhr, 15.10.2017

Hallo

Ich hab da mal eine Frage zum Lösen einer Betragsungleichung.
Einfache Betragsungleichungen wie

| 2 x + 1 | > 2

machen mir eigentlich keine Probleme aber nun hab ich zB. eine Betragsungleichung mit 2 Beträgen und da komm ich nicht wirklich zu einem passenden Ergebnis.
Zum Beispiel so eine Ungleichung:

| x | - | 2 x + 1 | > 0

Hierbei hab ich dann doch 4 Fälle oder?
Und wenn ich zB annehme das

| x | = - x

ist muss dann das

x

in.

| 2 x + 1 |

auch nochmal extra negativ sein.

Also die Lösung weiß ich dank graphischer Lösung in Geogebra aber wenn ich es rechnerisch löse komm ich irgendwie nicht so ganz auf das Ergebnis.

Kann mir das jemand erklären wie ich da am Besten vorgehe?

Lg Paul

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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Atlantik aktiv_icon

12:46 Uhr, 15.10.2017

Ein Weg ohne Fallunterscheidung:(mit Fallunterscheidung könnte ich das nicht)

| x | - | 2 x + 1 | > 0

| x | > | 2 x + 1 |

\sqrt{x^{2}} > \sqrt{{(2 x + 1)}^{2}} |^{2}

x^{2} > {(2 x + 1)}^{2}

x^{2} > 4 x^{2} + 4 x + 1

- 3 x^{2} - 4 x > 1 | : (- 3)

x^{2} + \frac{4}{3} x < - \frac{1}{3} | + q . E . {(\frac{\frac{4}{3}}{2})}^{2} = \frac{4}{9}

x^{2} + \frac{4}{3} x + \frac{4}{9} < - \frac{1}{3} + \frac{4}{9}

{(x + \frac{2}{3})}^{2} < \frac{1}{9}

x_{1} < - \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = - \frac{1}{3}

x_{2} > - \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = - 1

Lösung:

- 1 < x < - \frac{1}{3}

mfG

Atlantik

SuperPaul5000 aktiv_icon

23:05 Uhr, 15.10.2017

Danke für die schnelle und gute Antwort! Allerdings verstehe ich folgenden Schritt noch nicht so ganz:

x^{2} + \frac{4}{3} x < - \frac{1}{3} | + q . E . {(\frac{\frac{4}{3}}{2})}^{2} = \frac{4}{9}

Also ich verstehe schon was er macht aber wie kommt man darauf?
Lg Paul

ledum aktiv_icon

01:16 Uhr, 16.10.2017

Hallo
das ist die quadratische Ergänzung, die Art, wie man quadratische Gleichungen lösen kann, quadratische Ungleichungen lösen sollte,
(die Herleitung der sog. pq Formel benutzt die quadratische Ergänzung, oder warum "glaubst" du die pq Formel?
Gruß ledum

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