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Beweis Folge konvergiert gegen a mit |a_n -a|<=5E

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, konvergente Folge, Konvergenz

Lauch aktiv_icon

22:32 Uhr, 17.03.2025

Sei $a \in ℝ$ . Die Folge $(a_{n})_{n \in ℕ}$ habe folgende Eigenschaft: Für jedes $ε > 0$ existiert ein $M_{ε} \in ℕ$ , sodass
$∣ a_{n} - a ∣ \leq 5 ε$
für alle $n \geq M_{ε}$ . Zu zeigen ist, dass $(a_{n})_{n \in ℕ}$ gegen a konvergiert.

Ich weiß gar nicht wie ich da überhaupt anfangen soll.
Bitte um Hilfe. Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
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michaL aktiv_icon

23:08 Uhr, 17.03.2025

Hallo,

es kommt schließlich darauf an, wie ihr diese Konvergenz definiert habt bzw. welche Ergebnisse ihr diesbezüglich schon hattet.

Üblicherweise heißt eine Folge $(a_{n})_{n \in ℕ}$ (genau dann) konvergent gegen $a$ , wenn gilt: Für jedes $ε > 0$ exisitert ein (muss nicht eindeutig sein) $N_{ε} \in ℕ$ , sodass $∣ a_{n} - a ∣ < ε$ für alle $n \geq N_{ε}$

Wenn ihr so etwas als Definition oder Satz (oä) hattet, so bit du nicht weit weg. Wir müssen nur den Faktor 5 vor dem $ε$ irgendwie eliminieren.

Und das könnte so gehen:
Sei $ε > 0$ .
Wir müssen eine $N_{ε}$ finden, sodass $∣ a_{n} - a ∣ < ε$ für alle $n \geq N_{ε}$ gilt.

Dazu definieren wir als "Umweg" ein $ε ʹ := \frac{1}{5} ε$ . Wenn $ε > 0$ gilt, so auch $ε ʹ > 0$ und umgekehrt.

Nun definieren wir $N_{ε} := M_{ε ʹ}$ .

Damit erhalten wir, dass $∣ a_{n} - a ∣ < 5 ε ʹ$ gilt, für alle $n \geq M_{ε ʹ} = N_{ε}$ .

Es gilt dann also wie gewünscht: $∣ a_{n} - a ∣ < 5 ε ʹ = 5 \cdot \frac{1}{5} ε = ε$ für alle $n \geq N_{ε}$

Mfg Michael

helendam aktiv_icon

03:15 Uhr, 19.03.2025

Du sollst zeigen, dass die Folge $ ${(a_{n})}_{n \in ℕ}$ $ gegen $ a $ konvergiert, also:

\ $[$
$\forall ɛ > 0$ \; $\exists M \in ℕ$ \; \text ${$ sodass} \; $\forall n \geq M : | a_{n} - a | < ɛ$ .
\ $]$

### Schritt 1: Verständnis der gegebenen Eigenschaft
Es wird bereits angenommen, dass für jedes $ $ɛ > 0$ $ ein $ $M_{ɛ} \in ℕ$ $ existiert, sodass:

\ $[$
$| a_{n} - a | \leq 5 ɛ$ \text ${$ für alle $} n \geq M_{ɛ}$ .
\ $]$

Das bedeutet, dass die Differenz $ $| a_{n} - a |$ $ zwar nicht unbedingt kleiner als $ $ɛ$ $ ist, aber immer kleiner oder gleich $ $5 ɛ$ $.

### Schritt 2: Wahl eines neuen $\varepsilon'$
Da die Konvergenzdefinition für *jedes* $ $ɛ > 0$ $ gilt, wählen wir stattdessen $ $ɛ' = \frac{ɛ}{5}$ $. Nach Voraussetzung existiert dann ein $ $M_{ɛ'}$ $, sodass:

\ $[$
$| a_{n} - a | \leq 5 ɛ' = 5 \cdot \frac{ɛ}{5} = ɛ$ \text ${$ für alle $} n \geq M_{ɛ'}$ .
\ $]$

### Schritt 3: Konvergenz gezeigt
Damit erfüllt die Folge genau die Definition der Konvergenz: Für jedes $ $ɛ > 0$ $ existiert ein $ $M = M_{ɛ'}$ $, sodass für alle $ $n \geq M$ $ gilt:

\ $[$
$| a_{n} - a | < ɛ$ .
\ $]$

Das zeigt, dass $ $(a_{n})$ $ gegen $ a $ konvergiert.

**Fazit:** Die gegebene Eigenschaft ist nur eine leicht veränderte Form der Konvergenzdefinition, sodass man durch die Wahl $ $ɛ' = \frac{ɛ}{5}$ $ leicht die gewünschte Konvergenz zeigen slithergame.io kann.

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