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Beweis: Menge kompakt <=> konvergente teilfolge
Universität / Fachhochschule
Folgen und Reihen
Grenzwerte
Tags: Folgen, Grenzwert, kompakt, Kompakte Menge, konvergente Teilfolge, Reihen, Teilfolge
 
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Hallo, ich muss folgendes beweisen: Eine Menge ist kompakt genau dann wenn jede Folge in K eine Teilfolge hat, die in K konvergiert. die eine Richtung hab ich folgendermaßen bewiesen: (=>) Sei eine Folge in K, da K kompakt ist, ist K beschränkt und somit auch die Folge . Es folgt, dass eine konvergente Teilfolge (das haben wir bereits in einer anderen aufgabe bewiesen) hat. Es bleibt zu zeigen das b in K liegt: Der Grenzwert b von ist ein Häufungspunkt und da alle Häufungspunkte in K enthalten sind (folgt aus der Kompaktheit), ist auch b in K. bei der anderen richtung, bin ich jedoch nicht weiter gekommen... (<=) Sei eine Folge in K mit der konvergenten Teilfolge mit b K kann ich aus der konvergenz der teilfolge vllt etwas für die folge folgern,dass mir weiter helfen würde? mir fallen leider nur folgerungen in umgekehrter richung ein... lg |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff) Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige Grenzwerte Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen Grenzwerte im Unendlichen e-Funktion |
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In eine Menge genau dann kompakt ist, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. Eine Menge, die nicht kompakt ist, ist entweder nicht abgeschlossen oder nicht beschränkt (oder beides nicht). Für beides findet man Folgen, die keine in konvergente Teilfolge haben. Foglich muss kompakt sein. |
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ok, dann mach ich also einen indirekten beweis, das bekomm ich hin! danke für deine hilfe! |
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Hallo, wie ist denn bei euch kompakt definiert? Folgenkompakt oder überdeckungskompakt? Oder habt ihr gar die Äquivalenz der beiden gezeigt? Mfg Michael |
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