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Cauchy-Produkt und absolute Konvergenz

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Funktionalanalysis

Grenzwerte

Tags: Folgen und Reihen, Funktionalanalysis, Grenzwert

DerFuchs1337 aktiv_icon

19:29 Uhr, 19.04.2016

Hallo Community, ich bräuchte Hilfe bei einem Beweis und habe ein Problem bei der Lösung von Teilaufgabe

a)

mit einem anderen Satz.

Aufgabe:

\forall x \in

ℝ

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n} x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}

g (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n} x^{2 n}}{(2 n)!}

a)

Zeige, dass die beiden Reihen absolut konvergieren.

b)

Zeigen Sie mittels des Cauchy-Produkts, dass

\forall x \in

ℝ :

f (x + y) = f (x) g (y) + g (x) f (y)

a)

Ich habe es bei beiden mit dem Quotientenkriterium gezeigt, da dies ja direkt absolute Konvergenz zeigt. (aber warum?)

für

f (x) :

Sei

a n = \frac{{(- 1)}^{n} + x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}

Gesucht ist

lim_{n \to \infty} | \frac{a n + 1}{a n} |

so erhalte ich am ende

| \frac{(- 1) x}{2 n + 2} | < 1

.

also folgt: die reihe

f (x)

ist absolut konvergent. Analog gehe ich für

g (x)

vor.

Da aber in unserer Aufgabe oben drüber steht, dass es um das Cauchy-Produkt geht, gehe ich davon aus, dass ich

a)

mit dem Cauchy-Kriterium lösen muss (ich glaube nicht, dass ich für das Quotientenkriterium darauf Punkte kriege, aber ich frage nochmal meinen Tutor).

Hier schaffe ich das Abschätzen am Ende nicht(das muss man doch generell beim Cauchy-Kriterium?) und es ist wahrscheinlich auch noch ein Fehler beim auseinanderziehen der Partialsummen dabei.

Beispielsweise für

g (x) :

Satz:

\forall

> 0 \exists N \geq 0 \forall n \geq N \forall k \geq 1 | g (n + k) - g (n) | <

| \sum_{j = n + 1}^{n + k} \frac{{(- 1)}^{n} x^{2 n}}{(2 n)!} |

= | \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} \cdot (. .

+ . .

+ \frac{x^{2 n}}{(2 n + 1) \cdot . . \cdot (2 n + k)}) |

Ist das soweit richtig? Falls ja: hier abschätzen und dann?

zu

b)

Ich komme nur soweit, dass ich den Satz vom Cauchy Produkt anwende. Wie geht es weiter?

\sum_{i = 0}^{\infty} f (x + y) = \sum_{i = 0}^{\infty} f (x) \cdot \sum_{j = 0}^{\infty} g (y) + \sum_{j = 0}^{\infty} g (x) \cdot \sum_{i = 0}^{\infty} f (y)

\Leftrightarrow \sum_{i = 0}^{\infty} f (x + y) = \sum_{m = 0}^{\infty} (\sum_{k = 0}^{m} f (x) k \cdot g (y) m - k) + \sum_{m = 0}^{\infty} (\sum_{k = 0}^{m} g (x) k \cdot f (y) m - k)

Dankeschön :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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ledum aktiv_icon

19:59 Uhr, 19.04.2016

Hallo
du sollst erst bei 2 das Cauchyprodukt anwenden um die Formel für die 2 durch die Reihen definierten Funktionen zu zeigen.
also ist in

a)

dein Vorgehen richtig.
warum das mit dem QK klappt? du hast

a_{n} < q \cdot a_{n + 1}

ab einem

n

also kannst du die Reihe ab diesem

n

durch

a_{n} (\sum_{k = 1}^{\infty} q^{k})

ersetzen

q < 1

also eine geometrische Reihe deren Konvergenz bekannt ist dominieren
Gruß ledum

pwmeyer aktiv_icon

20:02 Uhr, 19.04.2016

"also ist in

a)

dein Vorgehen richtig."

Aber ich kann das Ergebnis für den Quotienten nicht nachvollziehen.

Gruß pwm

DerFuchs1337 aktiv_icon

20:29 Uhr, 19.04.2016

Ohje. Ich war mir sicher dass ich das Quotientenkriterium verstanden zu haben.

Ich tippe nochmal die ausführliche Lösung ab, damit ihr mich auf Fehler hinweisen könnt.

Also für

a) f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n} x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}

Quotientenkriterium: Sei

a n = \frac{{(- 1)}^{n} \cdot x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}

Gesucht ist

lim_{n \to \infty} | \frac{a n + 1}{a n} |

Wenn der Grenzwert

< 1 :

absolute Konvergenz
wenn der Grenzwert

> 1 :

keine Konvergenz

also ist

| \frac{a n + 1}{a n} | = \frac{{(- 1)}^{n + 1} \cdot x^{2 n + 2}}{(2 n + 2)!} \cdot \frac{(2 n + 1)!}{{(- 1)}^{n} \cdot x^{2 n + 1}}

\Leftrightarrow \frac{{(- 1)}^{n} \cdot {(- 1)}^{1} \cdot x^{2 n + 1} \cdot x}{(2 n + 1)! \cdot (2 n + 2)} \cdot \frac{(2 n + 1)!}{{(- 1)}^{n} \cdot x^{2 n + 1}}

\Leftrightarrow \frac{(- 1) \cdot x}{2 n + 2}

Wir nehmen laut Def. den Betrag, also:

| \frac{(- 1) \cdot x}{2 n + 2} |

jedes Folgenglied ist positiv, und offensichtlich ist

| \frac{(- 1) \cdot x}{2 n + 2} | < 1

DerFuchs1337 aktiv_icon

08:57 Uhr, 20.04.2016

Hey, ist es jetzt deutlich wie ich zu meiner Lösung in

a)

kam ? Oder ist da doch ein Fehler drin ?

Hat keiner eine Idee, wie ich bei

b)

weitermachen kann? Wir hatten nur diese Umschreibungsregel (die ich ja bereits angewandt habe) aber ich verstehe nicht, wieso sich daraus die Gleichheit ergibt.

Lg :-)

pwmeyer aktiv_icon

10:22 Uhr, 20.04.2016

Halllo,

wennn

a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} \cdot x^{2 \cdot n + 1}}{(2 \cdot n + 1)!}

ist, dann ist

a_{n + 1} = \frac{{(- 1)}^{n + 1} \cdot x^{2 \cdot n + 3}}{(2 \cdot n + 3)!}

Du musst in der Formel jede

n

durch

n + 1

ersetzen.

Für das weitere schreib mal die Rechenregel für das Cauchy-Produkt hier auf, dass wir uns darauf beziehen können.

Gruß pwm

DerFuchs1337 aktiv_icon

10:43 Uhr, 20.04.2016

Danke :-)

Kannst du nochmal erklären, warum bei

x^{2 n + 1}

für

n = n + 1

x^{2 n + 3}

und nicht x^(2n+2)rauskommt? Steh gerade auf dem Schlauch..

ledum aktiv_icon

11:56 Uhr, 20.04.2016

Hallo
setze in

2 n + 1

für

n n + 1

ein, dann steht da

2 \cdot (n + 1) + 1

was du wohl ausrechnen kannst.
2. gemeint war nicht uns ein Stück skript zu liefern, sondern das Cauchyprodukt von

g (x) \cdot f (y)

explizit, die allgemeine Darstellung kennen wir ;-) dabei natürlich die Riesenrads. von

g

und

f

benutzen. deine Formel

\sum g \cdot \sum f

ist doch sinnlos

g = \sum - - \sum g

macht keinen Sinn
dazu noch die Reihe

f (x + y)

Gruß ledum

DerFuchs1337 aktiv_icon

22:36 Uhr, 20.04.2016

Ah ok! Danke :-)

Also zu zeigen ist, dass:

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n} {(x + y)}^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n} x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n} y^{2 n}}{(2 n)!} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n} x^{2 n}}{(2 n)!} \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n} y^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}

Meinst du so? Das ist auf jeden Fall der Ansatz, ich habe heute extra nochmal meinen Tutor gefragt. Mir fällt aber nicht mehr ein außer der Satz im Skript, das mittels des Cauchy-Produkts umzuschreiben. Dann bin ich zwar einen Schritt weiter, aber was dann ?

lg

pwmeyer aktiv_icon

10:25 Uhr, 21.04.2016

Du hast oben die Cauchy-Formel für das Reihenprodukt aufgeschrieben. Dort tauchen

a_{k}

und

b_{k}

auf. Was ist

a_{k}

und

b_{k}

für das erste Produkt auf der rechten Seite, was für das zweite Produkt auf der rechten Seiten?

Gruß pwm

DerFuchs1337 aktiv_icon

12:54 Uhr, 21.04.2016

Achso. Damit meinte ich nur, dass man allgemein die "Ausgangslage" so umschreiben kann, aufgrund unserer Definition von dem Cauchy-Produkt. Ist vielleicht etwas irreführend. Ich habe es nur beispielhaft für

g

und

f

gemacht, aber eben ohne die konkreten Reihen schon einzusetzen.

Also ich habe das einfach so umgeschrieben wie in dem Anhang den ich geschickt habe. Ist das nicht korrekt so als ersten Schritt?

/

Edit: Ah ok, ich habe es jetzt. :-) Dankeschön!!!

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