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Differentialrechnung: Beweis Summen-/Faktorregel?

Schüler Fachoberschulen, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitungsregeln, Beweis, Differentialrechnung, Differenzialrechnung, Faktorregel, Summenformel

JulKra aktiv_icon

03:35 Uhr, 04.01.2010

Hallo ihr alle,

ich muss für ein für mich sehr wichtiges Referat die Beweise der Summen- und Faktorregel im Sinne der Ableitungsregeln aus der Differentialrechnung erklären können, komme aber, trotz aller Mühe, einfach nicht weiter! Es ist zum Verzweifeln!

So viel habe ich inzwischen:

Beweis der Faktorregel $f^{'} (x_{0}) = c \cdot u^{'} (x_{0})$ für alle $x_{0}$ aus D:

$\lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0)}}{x - x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{c \cdot u (x) - c \cdot u (x_{0})}{x - x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} [c \cdot \frac{u (x) - u (x_{0})}{x - x_{0}}] = \underset{x \to x_{0}}{\lim c} \cdot \lim_{x \to x_{0}} \frac{u (x) - u (x_{0})}{x - x_{0}} = c \cdot u^{'} (x_{0})$

und hier der Beweis der Summenregel ${(f + g)}^{'} (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) + g^{'} (x_{0})$ :

$\lim_{x \to x_{0}} \frac{(f + g) (x) - (f + g) (x_{0})}{x - x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} (\frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} + \frac{g (x) - g (x_{0})}{x - x_{0}}) = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f {(x}_{0})}{x - x_{0}} + \lim_{x \to x_{0}} \frac{g (x) - g (x_{0})}{x - x_{0}} = f^{'} (x_{0}) + g^{'} (x_{0})$

Tja, und da fangen auch schon meine Probleme an. Ich muss die beiden Beweise wie gesagt (ohne Verknüfung mit einem Zahlenbeispiel) erklären und aufrollen können. Ich weiß aber noch nicht einmal, von welcher Basis aus ich anfangen muss.

Kann mir BITTE irgendjemand weiterhelfen? Kampflos aufgeben will ich nämlich definitiv nicht!

Liebe Grüße,

JulKra

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

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mathemaus999

10:45 Uhr, 04.01.2010

Also,

ich verstehe dein Problem nicht so richtig. Du hast die beiden Regeln doch schön bewiesen, und zwar allgemein und nicht nur an einem Beispiel gezeigt, dass die Regel gilt.

Wenn du das Ganze jetzt noch etwas ausführlicher darstellen willst, solltest du zuerst einmal noch aufzeigen, wie die Ableitung an einer Stelle

x 0

definiert ist und davon aus dann erläutern, was zu zeigen ist.
Vielleicht kannst du ja auch erst einmal an konkreten Beispielen zeigen, wie die Regel lautet und wie sie anzuwenden ist.
Danach führst du dann den Beweis und erläuterst bei jedem Zwischenschritt, warum er zulässig ist.
Wenn du so vorgehst, solltest du schon einige Zeit füllen können. Wichtig ist auch, dass du deine Ergebnisse ordentlich an die Tafel bringst.

Ich hoffe, ich habe dich richtig verstanden. Ansonsten melde ich noch mal und schreibe, was du eigentlich wolltest.

Grüße

JulKra aktiv_icon

14:07 Uhr, 04.01.2010

Hallo Mathemaus,

so einfach ist es leider nicht. :-( Die Beweise, die ich gepostet hab, hab ich zwar im Internet gefunden, aber ich versteh sie absolut überhaupt nicht - das ist das Problem! Ich kann sie nicht erklären, weil ich sie nicht verstehe, und momentan suche ich verzweifelt nach einer Lösung, wie ich das endlich hinkriegen kann.

Allein schon wie ich anfangen soll ist mir schleierhaft: ja, also, da war mal irgendsoein Mathematiker und der hat sich gedacht, dass der limes von x gegen $x_{0}$ das und das und das ist. Aber warum? Wovon ist er denn da ausgegangen?

Verstehst du? :-(

Ach ja, und die Anwendung beherrschen wir schon, es geht nur um die Beweise. In dem Sinne ist die Aufgabenstellung auch etwas seltsam.

Liebe Grüße und vielen Dank für deine schnelle Antwort,

JulKra

anonymous

15:39 Uhr, 04.01.2010

Dann beschreibe ich mal ausführlicher, was bei den Beweisen gemacht wurde:

Wie du sicher schon weist, ist es möglich, die Ableitung durch Grenzwertbildung einer Sekantensteigung zu ermitteln. Und zwar hat man sich da diese Formel hergeleitet:

f' (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}

Beweis der Faktorregel:

f (x) = c \cdot u (x)

f' (x_{0}) = c \cdot u' (x_{0})

für alle

x_{0} \in D_{f}

Hier setzt du nun für

f (x)

die

c \cdot u (x)

ein bzw. für

f (x_{0})

eben

c \cdot u (x_{0}) :

f' (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{c \cdot u (x) - c \cdot u (x_{0})}{x - x_{0}}

Dann kannst du das

c

auklammern:

f' (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} (c \cdot \frac{u (x) - u (x_{0})}{x - x_{0}})

Aufgrund des Grenzwertsatzes

lim_{x \to p} (f (x) \cdot g (x)) = lim_{x \to p} f (x) \cdot lim_{x \to p} g (x)

folgt:

f' (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} c \cdot lim_{x \to x_{0}} \frac{u (x) - u (x_{0})}{x - x_{0}}

Wobei der Grenzwert einer Konstante die Konstante selbst ist, also

lim_{x \to x_{0}} c = c :

f' (x_{0}) = c \cdot lim_{x \to x_{0}} \frac{u (x) - u (x_{0})}{x - x_{0}}

Wenn du man nun den Teil

lim_{x \to x_{0}} \frac{u (x) - u (x_{0})}{x - x_{0}}

ansiehst, kann man bemerken, das dies der gleiche Term wie in der Formel ganz oben ist, nur das da eben ein

u

statt einem

f

steht. Deshalb kann man das durch

u' (x_{0})

ersetzen:

f' (x_{0}) = c \cdot u' (x_{0})

Damit wäre die Faktorregel bewiesen.

Beweis der Summenregel:
(Hier habe ich die Benennung etwas anders gestaltet. Da mir

(f + g)

als Funktionsname zu blöd ist.
Ich hoffe ich verwirre dich damit nicht.)

f (x) = g (x) + h (x)

f' (x_{0}) = g' (x_{0}) + h' (x_{0})

für alle

x_{0} \in D_{f}

Hier setzt man eben

g (x) + h (x)

für

f (x)

und

g (x_{0}) + h (x_{0})

für

f (x_{0})

in die Formel ganz oben ein:

f' (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{g (x) + h (x) - (g (x_{0}) + h (x_{0}))}{x - x_{0}}

Aufgrund des - vor der Klammer muss man die Vorzeichen in der Klammer umkehren um diese aufzulösen:

f' (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{g (x) + h (x) - g (x_{0}) - h (x_{0})}{x - x_{0}}

Anschließend ordnet man den Zähler einfach etwas anders an:

f' (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{g (x) - g (x_{0}) + h (x) - h (x_{0})}{x - x_{0}}

Nun kann man den Bruch noch in zwei Brüche aufteilen:

f' (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} (\frac{g (x) - g (x_{0})}{x - x_{0}} + \frac{h (x) - h (x_{0})}{x - x_{0}})

Augrund des Grenzwertsatzes

lim_{x \to p} (f (x) + g (x)) = lim_{x \to p} f (x) + lim_{x \to p} g (x)

folgt:

f' (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{g (x) - g (x_{0})}{x - x_{0}} + lim_{x \to x_{0}} \frac{h (x) - h (x_{0})}{x - x_{0}}

Nun kann einem wieder auffallen das die beiden Summanden wieder wie in der Formel ganz oben aussehen, nur dass eben ein

g

bzw.

h

statt einem

f

steht, weswegen man die se nun durch

g' (x_{0})

bzw.

h' (x_{0})

ersetzen kann:

f' (x_{0}) = g' (x_{0}) + h' (x_{0})

Damit ist die Summenregel bewiesen.

Man muss zwar auf einige Sachen erst kommen, das ist in der Mathematik nunmal manchmal so, aber es gibt es zu jedem Schritt Regeln bzw. Sätze, warum man das machen darf. (Distributivgesetz, Kommutativgesetz, Grenzwertsätze,...)

Falls dir immer noch etwas an den Beweisen unklar ist

. .

. einfach nachfragen.

JulKra aktiv_icon

05:59 Uhr, 06.01.2010

Hallo MiHyaERu,

vielen, vielen Dank für die ausführliche Antwort, ich bin gerade dabei, sie Stück für Stück durchzuarbeiten.

Verstehe ich das richtig, dass die Grenzwertbildung einer Sekantensteigung Voraussetzung dafür ist, dass ich eine Ableitung bilden kann? Ich habe dazu in meinen Unterlagen nichts gefunden und deswegen ein bisschen im Internet gestöbert. Hoffentlich hab ich das auch richtig verstanden!

Eine wichtige Frage habe ich aber noch:

Beweis der Faktorregel:
f(x)=c⋅u(x)
f'(x0)=c⋅u'(x0)
für alle x0∈Df

Um ganz ehrlich zu sein verstehe ich das irgendwie überhaupt nicht. Nimmt man das einfach an? Und was ist denn c? :-(

Liebe Grüße und nochmal vielen Dank,

JulKra

mathemaus999

10:40 Uhr, 06.01.2010

Hallo,

leider schau ich erst jetzt wieder ins Forum. Aber wie ich sehe, hat dir ja schon jemand anderes helfen können.
Daher hier noch zu deinen weiteren Fragen.

Du solltest damit beginnen, wie die Ableitung einer Funktion an einer Stelle

x 0

definiert ist. Das ist, wie du schon richtig erkannt hast, der Grenzwert der Sekantensteigungen. Wenn der existiert, dann definiert man diesen Grenzwert als Ableitung der Funktion an der Stelle

x 0

. Wenn man diesen Grenzwert an jeder Stelle

x

bestimmen kann (das geschieht, indem man für

x 0

keine konkrete Zahl einsetzt, sondern allgemein mit

x 0

argumentiert, dann erhält man die Ableitungsfunktion oder auch einfach nur Ableitung der Funktion.

Die Faktorregel besagt jetzt einfach nur Folgendes:

Wenn ich eine Funktion

f (x)

habe, deren Ableitung

f' (x)

existiert, und ich multipliziere diese Funktion

f

mit einer reellen Zahl

c,

dann erhalte ich die Ableitung der neuen Funktion

c \cdot f (x),

indem ich die Ableitung von

f (x)

mit

c

multipliziere, also

c \cdot f' (x)

bilde.

Beispiel:

f (x) = x^{3}; c = 7; f' (x) = 2 \cdot x

g (x) = c \cdot f (x) = 7 \cdot x^{2}

Dann gilt nach dem Satz:

g' (x) = c \cdot f' (x) = 7 \cdot 2 \cdot x = 14 \cdot x

So solltest du deinen Vortrag beginnen.

Der nächste Punkt sollte sein, dass du nun anführst, dass das Beispiel kein allgemeiner Beweis ist. Man muss deshalb die Definition der Ableitung heranziehen und daran den Nachweis führen.
Dann kannst du die Ausführungen von "MiHyaERu" vortragen.

Für den zweiten Beweis gehst du dann entsprechend vor. Das sollte dir gelingen. Ansonsten nachfragen.

Grüße und viel Erfolg

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