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Divergenz/Konvergenz erkennen

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

memam aktiv_icon

18:08 Uhr, 29.06.2017

Hallo,
ich hänge gerade bei einer Aufgabe.
Zu Bestimmen ist:

lim_{x \to 1 + 0} \frac{3 x - 1}{{(x - 1)}^{3}}

Nach der Lösung divergiert die Folge gegen

+ \infty,

aber woher sehe ich das?
Kann mir da jemand bitte helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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18:15 Uhr, 29.06.2017

h-Methode:

Setze

x = 1 + h,

ausrechnen,

h

gegen Null gehen lassen.

memam aktiv_icon

18:21 Uhr, 29.06.2017

Meinen Sie das so:

\frac{(3 (h + 1)) - 1}{{((h + 1) - 1)}^{3}}

= \frac{3 h + 2}{h^{3}} = \frac{3}{h^{2}} + \frac{2}{h^{3}}

Und wenn ich da für

h = 0

einsetze kommt da nix raus, weil 0 nicht im nenner stehen darf
Ist es deshalb divergent?

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18:28 Uhr, 29.06.2017

Ja, beide Nenner werden unendlich klein, damit gehen die Brüche gegen unendlich.
Aber darfst du natürlich nicht Null für

h

einsetzen.

memam aktiv_icon

18:40 Uhr, 29.06.2017

Aber war das nicht so, dass wenn der Nenner immer kleiner wird, die Folge eine Nullfolge ist. Und wenn sie eine Nullfolge ist, konvergiert sie doch oder?

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18:45 Uhr, 29.06.2017

Nullfolge heißt, dass der ganze Bruch gegen Null gehen muss.

Überleg mal: Wenn du 3 oder 2 durch

z . B

0,00000000000 ... 1

teilst, was kommt da raus?
Sicher icht Null,oder? :-)

memam aktiv_icon

18:51 Uhr, 29.06.2017

Aber wenn man die Folge

\frac{1}{x}

nimmt und diese gegen unendlich laufen lässt, dann konvergiert sie doch gegen null. Sie ist ja dann eine Nullfolge. Und bei dieser Folge würde es doch auch gegen 0 konvergieren. Ich bin gerade voll verwirrt.

ledum aktiv_icon

17:09 Uhr, 30.06.2017

Hallo
du bringst 2 Dinge durcheinander:

lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0

lim_{x \to 0} \frac{1}{x}

divergiert ( salopp

= \infty)

hier geht

h

gegen 0
Gruß ledum

memam aktiv_icon

00:33 Uhr, 01.07.2017

Meinen sie das jetzt so: wenn man die

h

Methode benutzt hat und man es gegen null laufen lässt und wenn man

0

in die Funktion einsetzt und der Bruch sozusagen unlogisch ist, da

z . B \frac{2}{0^{3}}

nicht existiert, divergiert die Folge gegen

\infty

. Was meint man hier mit

lim_{h \to 0}

heißt das, man setzt für

h

Werte von null bis unendlich ein????

ledum aktiv_icon

00:47 Uhr, 02.07.2017

Hallo

lim_{h \to 0} \frac{1}{h}

divergiert heisst , zu jeder beliebig großen Zahl

n

finde ich ein

h

so dass

\frac{1}{h} > n

ist
(Du hast viel aufzuholen, wenn du nicht weisst, was

lim

bedeutet!)
Gruß ledum

memam aktiv_icon

15:01 Uhr, 02.07.2017

Ich weiß was der Limes ist, aber ich bin voll verwirrt. Ich lasse die Folge gegen null laufen aber darf nicht null in den Nenner einsetzen. Und wenn man Werte einsetzt für

h

werden die Brüche immer kleiner. Eigentlich heißt das ja, dass sie sich einem Grenzwert nähern. Ich verstehe auch nicht ganz was mit diesem

\frac{1}{h} > n

gemeint ist

\frac{1}{h}

ist doch immer kleiner als n?????

Roman-22

15:11 Uhr, 02.07.2017

> \frac{1}{h}

ist doch immer kleiner als n?????
Echt!?

Na, dann wollen wir uns mal mit

h

der Null nähern. Und du rechnest jeweils bitte

1 (h

aus und überprüfst dabei den Wahrheitsgehalt deine Aussage "1/h ist doch immer kleiner als n?"

h = 1 \to \frac{1}{h} = . .

h = \frac{1}{10} \to \frac{1}{h} = . .

h = \frac{1}{1000} \to \frac{1}{h} = . .

h = \frac{1}{10^{6}} \to \frac{1}{h} = . .

h = \frac{1}{10^{10}} \to \frac{1}{h} = . .

memam aktiv_icon

15:46 Uhr, 02.07.2017

h = 1 \to \frac{1}{1} = 1

h = \frac{1}{10} \to \frac{1}{h} = 10

h = \frac{1}{1000} \to \frac{1}{h} = 1000

h = \frac{1}{10^{6}} \to \frac{1}{h} = 10^{6}

etc. die Werte werden, je näher man an die 0 rückt größer. Aber was ist mein n?

Roman-22

15:53 Uhr, 02.07.2017

>

die Werte werden, je näher man an die 0 rückt größer
Genau. Wenn man durch eine kleine Zahle dividiert wird der Wert groß. Und zwar hier so groß, dass er jeden Wert

n,

den du vorgibst, irgendwann mal übertrifft.

>

Aber was ist mein n?
DEIN n? Wie meinst du das?
Lies dir ledums Antwort nochmals durch!
Wähle dir ein beliebiges

n,

egal wie groß auch immer. Wenn wir uns mit dem

h

immer näher an 0 rantasten, wird irgendwann der Punkt erreicht sein, ab dem die

\frac{1}{h}

immer größer sind als dein gewähltes

n

. Und wenn du dann auf die Idee kommen solltest, ein noch größeres

n

zu wählen, dann gehen wir mit unserem

h

eben noch ein wenig näher zur Null und werden mit

\frac{1}{h}

auch dein größeres

n

irgendwann locker überholen.
Man will damit nichts anderes sagen als, dass der Term

\frac{1}{h}

für

h \to 0^{+}

über alle Grenzen strebt, was man gelegentlich auch mit

lim_{h \to 0^{+}} \frac{1}{h} = \infty

ausdrückt.

memam aktiv_icon

16:08 Uhr, 02.07.2017

Achso also wenn ich das nochmal auf die Aufgabe beziehe:
Da

\frac{3}{h^{2}} + \frac{2}{h^{3}}

wenn man gegen 0 laufen lässt

h = 1 \to \frac{3}{h^{2}} + \frac{2}{h^{3}} = 5

h = \frac{1}{10} \to \frac{3}{h^{2}} + \frac{2}{h^{3}} = 2300

h = \frac{1}{100} \to \frac{3}{h^{2}} + \frac{2}{h^{3}} = 2030000

deshalb ist dér Term

\frac{3}{h^{2}} + \frac{2}{h^{3}} > n

und deshalb ist

lim_{h \to 0^{+}} \frac{3}{h^{2}} + \frac{2}{h^{3}} = \infty

Und wenn ich

z . B \frac{- 2 x + 1}{{(x - 1)}^{4}}

habe, dann benutze ich die

h

Methode und dann kommt raus

\frac{- 2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{4}}

und wenn man das gegen 0 laufen lässt, dann erhält man:

h = 1 \to \frac{- 2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{4}} = - 3

h = \frac{1}{10} \to \frac{- 2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{4}} = - 12000

h = \frac{1}{1000} \to \frac{- 2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{4}} = - 1002000000000

Und der Term ist wird immer kleiner je näher man an die Null kommt und deshalb

lim_{x \to 0} \frac{- 2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{4}} = - \infty

Stimmt das jetzt so?

Roman-22

16:26 Uhr, 02.07.2017

>

Stimmt das jetzt so?
Im Wesentlichen ja, zumindest kannst du es dir so veranschaulichen.
Im Grunde ist die Konstante, die im Zähler steht unerheblich. Wenn im Nenner eine Potenz von

x

steht und

x

gegen Null strebt, dann strebt der Bruch gegen Unenedlich.

Ob

+ \infty

oder

- \infty

hängt nicht nur vom Ausdruck ab, der untersucht wird, sondern auch davon, ob wir uns der Null von links oder von rechts nähern. Also ob wir uns die Näherung mit

< - 1; - 0.1; - 0.00001; ... . . >

vorstellen, oder mit

< 1; 0.1; 0.00001; ... . . >

Dementsprechend zB

lim_{x - 0^{-}} \frac{1}{x} = - \infty,

aber

lim_{x - 0^{+}} \frac{1}{x} = + \infty

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