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Eindeutigkeit Grenzwert

Universität / Fachhochschule

Tags: Grenzwert

gonnabeph aktiv_icon

14:21 Uhr, 05.07.2014

Hallöchen, ich bereite mich gerade auf meine Ana1 Klausur vor und gehe dabei ein paar Beweise durch. Ich möchte beweisen das wenn eine Folge konvergiert der Grenzwert eindeutig ist.

Meine Ideen:

Ich möchte einen Widerspruchsbeweis führen. Angenommen die Folge

a_{n}

konvergiert gegen

a

und

b

. Das heißt,

a_{n} \to a

und

a_{n} \to b

. Oder auch:

∣ a_{n} - a ∣ \to 0

und

∣ a_{n} - b ∣ \to 0

. Das ist allerdings auch äquivalent

∣ (a_{n} + a_{n}) - (a + b) ∣ \to 0

Also gilt zu zeigen:

0 \leq ∣ (a_{n} + a_{n}) - (a + b) ∣ = ∣ 2 a_{n} + 2 a - 2 a - a + b ∣ = ∣ (2 a_{n} - 2 a) - (b - a) ∣ \leq ∣ 2 ∣ ∣ a_{n} - a ∣ + ∣ b - a ∣ = b - a > 0

und da

b \neq a

gilt erhalte ich nach Sandwich Theorem einen Widerspruch da

∣ (a_{n} + a_{n}) - (a + b) ∣ \to 0

die Voraussetzung war.

Kann ich das machen?

Lieben Dank! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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pwmeyer aktiv_icon

18:01 Uhr, 05.07.2014

Hallo,

Du erhältst keinen Widerspruch weil Du eine Abschätzung nach oben durchgeführt hast.

Gruß pwm

anonymous

18:04 Uhr, 05.07.2014

Ich hätte da zunächst einige Bemerkungen:

- - 1

. Bemerkung

- -

| a_{n} - a | \to 0

und

| a_{n} - b | \to 0

. Das ist allerdings auch äquivalent

| (a_{n} + a_{n}) - (a + b) | \to 0

"

Das stimmt so nicht, die Aussagen sind nicht äquivalent. Aus der ersten folgt zwar de zweite, aber aus der zweiten nicht die erste. Betrachte zum Beispiel

a = - 1, b = 1

und die Folge mit

a_{n} = \frac{1}{n}

. Dann gilt zwar

| (a_{n} + a_{n}) - (a + b) | \to 0

aber weder

| a_{n} - a | \to 0

noch

| a_{n} - b | \to 0

- - 2

. Bemerkung

- -

"und da b≠a gilt erhalte ich nach Sandwich Theorem einen Widerspruch"

Wo willst du da das Sandwich-Theorem anwenden.
Das Sandwich-Theorem besagt doch, dass

a_{n} \to a,

wenn

b_{n} \leq a_{n} \leq c_{n}

mit

b_{n} \to a

und

c_{n} \to a

.

Hier ist allerdings:

b_{n} := 0 \to 0

und

c_{n} := 2 \cdot | a_{n} - a | + | b - a | \to | b - a | \neq 0

.
Da

b_{n}

und

c_{n}

also gegen verschiedene Werte konvergieren, kann das Sandwich-Theorem da nicht so einfach angewendet werden. Daraus kann nur gefolgert werden, dass für

n \to \infty

gilt:

0 \leq | (a_{n} + a_{n}) - (a + b) | \leq | b - a |

Aber eben nicht, gegen welchen Wert

| (a_{n} + a_{n}) - (a + b) |

genau konvergiert, falls das konvergiert. Es darf dann natürlich auch gegen 0 konvergieren, was ja im Intervall

[0, | b - a |]

liegt. Ich sehe da keinen Widerspruch zu

| (a_{n} + a_{n}) - (a + b) | \to 0

- - 3

. Bemerkung

- -

| 2 | | a_{n} - a | + | b - a | = b - a

"

Zunächst einmal müsste man

b \geq a

vorraussetzen, damit

| b - a | = b - a

ist. Das kann man hier zwar ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, aber sollte es dazu schreiben.
Des Weiteren gilt diese Gleichheit nur im Grenzfall

n \to \infty,

was man auch dazu schreiben sollte bzw. stattdessen mit

| 2 | | a_{n} - a | + | b - a | \to b - a

andeuten kann, statt ein Gleichheitszeichen zu verwenden.

- -

Fazit

- -

Der Beweis ist so nicht korrekt.

- -

Vorschlag

- -

Annahme: Angenommen es wäre

lim_{n \to \infty} a_{n} = a

und

lim_{n \to \infty} a_{n} = b

mit

a \neq b

.

Dann existieren zu jedem

ɛ > 0

Zahlen

N_{a}

und

N_{b},

so dass

| a_{n} - a | < ɛ

für alle

n \geq N_{a}

und

| a_{n} - b | < ɛ

für alle

n \geq N_{b}

.
Das würde dann also insbesondere auch für

ɛ = \frac{| b - a |}{4}

gelten.

Dann würde jedoch für alle

n \geq max {N_{a}, N_{b}}

gelten:

| b - a | = ... \leq ... = \frac{| b - a |}{2}

Aufgrund dieses Widerspruches, muss die Annahme falch gewesen sein. Damit ist die Eindeutigkeit des Grenzwertes gezeigt.

Das "

...

" darfst du nun selbst versuchen zu befüllen.

gonnabeph aktiv_icon

18:08 Uhr, 05.07.2014

Hi pwmeyer, schonmal danke für deine Hilfe, irgendwie traut sich ja sonst niemand an die Aufgabe.

Ich habe mit der Dreiecksungleichung nach oben abgeschätzt. Allerdings erhalte ich doch durch die Abschätzung

0 \leq ∣ (a_{n} + a_{n}) - (a + b) ∣ \leq a + b

und da

a

ungleich

b

müsste nach Sandwich Theorem auch die rechte Seite

0

sein damit

∣ (a_{n} + a_{n}) - (a + b) ∣

eine Nullfolge ist. Da aber doch

a \neq b

ist

a - b

ungleich Null

Wieso klappt das denn nicht und wie mache ich es richtig?

Schonmal vielen Dank! :-)

anonymous

18:22 Uhr, 05.07.2014

Du hast es evtl. gerade ch nicht gesehen, da du selbst einen Beitrag geschreiebn hast, aber ich habe dir nun auch mal etwas dazu geschrieben.

" und da a ungleich

b

müsste nach Sandwich Theorem auch die rechte Seite 0 sein damit

| (a_{n} + a_{n}) - (a + b) |

eine Nullfolge ist "

Aus

0 \leq a_{n} \leq b_{n}

mit

b_{n} \to 0

folgt zwar, dass

a_{n}

eine Nullfolge ist. Aber

a_{n}

kann auch eine Nullfolge sein, ohne dass

b_{n} \to 0

gilt. Schließlich kann man da ja ohane Weiteres nach oben abschätzen.

Wenn nun

0 \leq a_{n} \leq b_{n} \leq b_{n} + 1

mit

b_{n} \to 0

ist, so ist zwar

b_{n} + 1 \to 1

aber trotzdem

a_{n}

eine Nullfolge. Ich verstehe also nicht, wo du da einen Widerspruch siehst.

- -

Ein Vorschlag, wie man das richtig angehen kann, ist am Ende meines letzten Beitrags zu finden.
Man sollte hier wirklich mit der Definition des Grenzwertes arbeiten.
Ansonsten steckt man da unter Umständen zu viele Annahmen rein, so dass man am Ende mit einem Zirkelschluss dasteht.

gonnabeph aktiv_icon

20:41 Uhr, 05.07.2014

Hi kenyu, ich habe mir den Beweis in meinen Unterlagen noch einmal angeschaut. So richtig verstehe ich ihn aber nicht. Ich schreibe ihn mal auf und kannst du mir dann bei den Stellen helfen die mir unklar sind?

Beweis:

Annahme

a_{n}

konvergiert gegen

a

und

b

.
Sei der Abstand zwischen

a

und

b

d = ∣ a - b ∣

.

Da a der Grenzwert von

a_{n}

dann sind alle Folgengleider ab

n_{0}

in der Epsilon Umgenung

N_{ε} (a)

.
Das selbe für

b

. Da

b

der Grenzwert von

a_{n}

sind alle Folgengleider ab

m_{0}

in der epsilon-Umgebung

N_{ε} (b)

.
Sei

ε = \frac{d}{3}

.
Das heißt alle bis auf endlich viele Folgenglieder befinden sich in

N_{\frac{d}{3}} (a)

und

N_{\frac{d}{3}} (b)

.

Das ist allerdings nicht möglich da

N_{\frac{d}{3}} (a) \cap N_{\frac{d}{3}} (b) = \emptyset

Also besitzt

a_{n}

nur einen Grenzwert.

Ich verstehe nicht so ganz wieso

N_{\frac{d}{3}} (a) \cap N_{\frac{d}{3}} (b) = \emptyset

ein Widerspruch ist. Kannst du mir das erklären?

Vielen lieben Dank! :-)

pwmeyer aktiv_icon

10:02 Uhr, 06.07.2014

Hallo,

mach Dir einfach mal eine Skizze von

a, b,

und den Umgebungen mit

ε = \frac{d}{3}

Gruß pwm

gonnabeph aktiv_icon

10:48 Uhr, 06.07.2014

Es ist zwar nicht meine schönste Zeichnung aber es sollte klar sein was gemeint ist. :-)

Ich verstehe allerdings immer noch nicht warum das ein Widerspruch ist wenn die Schnittmenge beider

ε

Umgebungen leer ist. Die Epsilon Umgebung ist ja eine Menge. Vielleicht bin ich auch einfach zu doof dafür :-(.

Schonmal lieben Dank!

anonymous

15:27 Uhr, 06.07.2014

Für alle

n > n_{0}

ist

a_{n} \in N_{ɛ} (a)

.
Für alle

n > m_{0}

ist

a_{n} \in N_{ɛ} (b)

.

Demnach ist für alle

n > max {n_{0}, m_{0}}

also

a_{n} \in N_{ɛ} (a) \cap N_{ɛ} (b)

. Demnach müsste

N_{ɛ} (a) \cap N_{ɛ} (b) \neq \emptyset

sein, da die

a_{n}

für

n > max {n_{0}, m_{0}}

enthalten sind.

Und

N_{ɛ} (a) \cap N_{ɛ} (b) \neq \emptyset

ist doch ganz klar ein Widerspruch zu

N_{ɛ} (a) \cap N_{ɛ} (b) = \emptyset,

oder?

gonnabeph aktiv_icon

15:55 Uhr, 06.07.2014

Ah, ich habe glaube die Logik in dem Beweis verstanden. Es wird ja gesagt wenn eine Folge

a_{n}

konvergiert dann liegen alle bis auf endlich viele Punkte in der epsilon Umgebung. Also

a_{n} \in N_{ε} (a)

. Da ich zwei Grenzwerte habe gilt dies natürlich auch für

a_{n} \in N_{ε (b)}

. Da allerdings nicht alle Punkte in der epsilon Umgebung von

N_{ε} (a)

liegen können da ja sonst nicht alle bis auf endlich viele in der Umgebung von

N_{e p s i l o n} (b)

liegen. Das ist der Wipderspruch. In einer Umgebung müssen alle bis auf endlich viele liegen.
Deswegen ist auch die Schnittmenge der beiden Umgebungen nicht leer da es quasi "hinter" der epsilon Umgebung von

N_{ε} (a)

noch weitere Punkte gibt die ja in der epsilon Umgebung von

b

liegen müssen.

Das ist dann der Widerspruch das sich in einer Umgebung alle bis auf endlich viele befinden müssen.

Habe ich das so richtig verbalisiert? :-)

anonymous

19:23 Uhr, 06.07.2014

Ja, ich denke jetzt hast du die Beweisidee verstanden.

gonnabeph aktiv_icon

19:43 Uhr, 06.07.2014

Alles klar, damit ist die Aufgabe auch erledigt.

Vielen lieben Dank! :-)

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