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Einseitige Grenzwerte berechnen

Schüler Universitäre Hochschule, 12. Klassenstufe

Tags: Grenzwert

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17:04 Uhr, 22.05.2014

Hallo Leute,
Ich habe hier eine Aufgabe, die ich momentan leider nicht weiterkomme und deshalb eure Hilfe brauche

Berechnen Sie folgende einseitigen Grenzwerte

a) lim_{x \to 2^{-}} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}

b) lim_{x \to 2^{-}} \frac{x + 1}{2 \cdot (x^{2} - 4)}

c) lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{x}

Zunächst sehen wir bei der Aufgabe

a,

dass die Funktion im Definitionsbereich

x = 2

eine Lücke hat, sonst würden wir mit 0 multiplizieren und das geht nicht.
Die Aufgabe sagt, ich soll einseitiger Grenzwert für

lim_{x \to 2^{-}} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}

berechnen, das heißt sowohl von links als auch

von rechts

lim_{x \to 2^{-}} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}

(von links) und

lim_{x \to 2^{+}} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}

(von rechts). Und wenn der linksseitiger Grenzwert und rechtsseitiger Grenzwert den gleichen Grenzwert hat, dann haben wir das Ergebnis von a oder?

Was sagt ihr dazu?

Danke im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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Bummerang

17:23 Uhr, 22.05.2014

Hallo,

nicht so viel reden, machen! Du sollst einfach die 6 Grenzwerte berechnen und dann linken und rechten vergleichen und fertig! Oder hast Du Probleme bei der Berechnung der einzelnen Grenzwerte? Wenn ja bei welchem und worin besteht das Problem?

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17:34 Uhr, 22.05.2014

Alles Klar,

Zu

a) lim_{x \to 2^{-}} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}

Annäherung von links

(x < 2)

x_{n}

ist eine Folge

= 1,9; 1,99; 1,999; 1,9999; . .

.

Jedem dieser Folge wird durch die Funktionsgleichung

\frac{x^{2} - 4}{x - 2}

genau ein Funktionswert zugeordnet, nämlich

3,9; 3,99; 3,999; . .

.
Daraus kennt man dass die Folge der Funktionswerte gegen 4 konvergiert.

Annäherung von recht

(x > 2)

x_{n}

ist eine Folge

= 2,1; 2,01; 2,001; 2,0001; . .

.

Dasselbe wie bei Annäherung von links, nämlich jedem dieser Folge wird durch die Funktionsgleichung

\frac{x^{2} - 4}{x - 2}

genau ein Funktionswert zugeordnet, nämlich

4,1; 4,01; 4,001; . .

.
Daraus kennt man dass die Folge der Funktionswerte gegen 4 konvergiert.

Somit folgt

4 = 4

Korrekt?

Bummerang

17:37 Uhr, 22.05.2014

Hallo,

habe ich nicht nachgerechnet, da das kein mathematisches Vorgehen ist! Übungsaufgaben wie diese sind dazu da, einen gewissen Lerneffekt zu erzielen. Da darf es einfach nicht vorkommen, dass man wenige Stunden, nachdem man die Lösung für

lim_{x \to 1} \frac{e^{2 \cdot x} - 1}{e^{x} - 1}

hier im Forum präsentiert hat an der Lösung von

lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}

scheitert!

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17:40 Uhr, 22.05.2014

Hi,
wie würdest du im mathematischen Sinne vorgehen?

Bummerang

17:42 Uhr, 22.05.2014

Hallo,

schau Dir meinen letzten Post genau an! Vor allem schau Dir die beiden Terme genau an! Ganz genau!!!

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17:45 Uhr, 22.05.2014

Wenn ich ganz normale Grenzwerte, wie die letzte Aufgabe, welche ich hier vor einigen Tagen berechnet und erfolgreich gelöst habe, wäre das auch die Lösung zu diesen Aufgaben?

Bummerang

17:59 Uhr, 22.05.2014

Hallo,

die von Dir "normal" genannten Grenzwerte, wären eigentlich wie hier zu berechnen gewesen. Auch da hätte man formal mit linkem und rechten Grenzwert arbeiten müssen. Insofern kann ich die Reihenfolge, in der die Übungsaufgaben bei Dir anfallen aus didaktischer Sicht ncht nachvollziehen. Da herrscht Chaos. Grenzwerte für Funktionen an einer Stelle braucht man nur dann wirklich berechnen, wenn die Funktion an dieser Stelle unstetig ist. Bei stetigen Funktionen ist der Grenzwert gleich dem Funktionswert und den kann man einfach berechnen. Grenzwerte an Unstetigkeitsstellen existieren aber nicht immer, deshalb beginnt man didaktisch sinnvoll mit den beiden halbseitigen Grenzwerten. Nur wenn beide halbseitigen Grenzwerte existieren und identisch sind

(!!!),

dann existiert auch der Grenzwert an dieser Unstetigkeitsstelle.

Natürlich ist es so, dass Du sowohl links- als auch rechtsseitig die Funktion so verändern darfst, dass für alle

x

kleiner (bei links) und

x

größer (bei rechts) der angegebenen Stelle der Funktionswert erhalten bleibt. Wenn dann bei der Umstellung eine stetige Funktion raus kommt, darfst Du Jubeln, denn dann kannst Du einfach einsetzen! Und das machst Du jetzt hier! Los! Ich muss weg, heisst: Ich habe nicht ewig Zeit.

EDIT: Du bist nicht mehr grün!

O . K .,

dann gehe ich...

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