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Flächenrechnung Integral Sinus und Cosinusfunktion

Schüler

Tags: Integral

Hansmax aktiv_icon

19:13 Uhr, 18.01.2016

Hallo

Wie löst man folgende Aufgabe?

Aufgabe: Berechne den Inhalt der Fläche, die begrenzt wird von der

x -

Achse, den Geraden

g_{1} : x = 0

und

g_{2} : x = 2 \cdot Π

sowie der Kurve

f

a) F : y =

sinx+1 b)f:y=cosx

- \frac{1}{2}

c)f:y=cosx

+ \frac{1}{2}

Mein Lösungsweg:

a)

0=sinx

+ 1

Arcsin(-1)=-pi/2
Betrag Integral sinx

+ 1

von –Pi/2 bis

0 +

Betrag Integral sinx

+ 1

von 0 bis

2 Π = 0

b)

0=cosx-1/2
arccos(1/2)=1/3Pi
Betrag Integral sinx-1/2x von 0 bis

\frac{1}{3} Π +

Betrag Integral sinx

- \frac{1}{2} x

von

\frac{1}{3} Π

bis

2 Π = 4.041

c)

-0.5=arccis(x)

x = \frac{2}{3} Π

Betrag Integral sinx

+ \frac{1}{2} x

von 0 bis

\frac{2}{3} Π +

Betrag Integral sinx

+ \frac{1}{2} x

von

\frac{2}{3} Π

bis

2 Π = Π

Alle Resultate ausser

a)

stimmen nicht, was mach ich falsch?

Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

rundblick aktiv_icon

19:35 Uhr, 18.01.2016

.
Tipp zu Aufgabe

a) \to

es ist :

\int_{0}^{2 π} (1 + sin x) \cdot d x =

\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{3}{2} π} (1 + sin x) \cdot d x =

= {[x - cos x]}_{- \frac{π}{2}}^{\frac{3}{2} π} =

... .

. ?

überlege, warum
.

Hansmax aktiv_icon

19:43 Uhr, 18.01.2016

Danke, ich komme nicht ganz nach, die Fläche zwischen

- \frac{Π}{2}

bis 0 wird negativ gewertet, und somit würde doch ein Integral von

- \frac{Π}{2}

bis

\frac{3}{2} Π

einem Integral von 0 bis

Π

entsprechen, oder?

rundblick aktiv_icon

19:54 Uhr, 18.01.2016

f (x) = 1 + sin x

mach dir klar,
dass ALLE Punkte der Kurve OBERHALB (oder mindestens auf) der x-Achse liegen

deshalb wird das Integral (für beliebige Intervalle auf der x-Achse) immer nur
positive Werte liefern ..also nichts mit

\to

" die Fläche zwischen

- \frac{π}{2}

bis 0 wird negativ gewertet,"

ok?

Hansmax aktiv_icon

19:57 Uhr, 18.01.2016

Vielen Dank, "upps", die Verschiebung um

1 \in y

habe ich übersehen, aber es hat doch keinen Einfluss auf die Lösung, ob durchintegriert wird, oder von Schnittpunkt zu Schnittpunkt,ich komme noch nicht ganz nach.

rundblick aktiv_icon

19:59 Uhr, 18.01.2016

.
Tipp: zeichne dir mal

y = 1 + sin x

Hansmax aktiv_icon

20:04 Uhr, 18.01.2016

Vielen Dank, habe ich, troztdem komm ich nicht ganz nach, die Lösung in

a)

stimmt ja(die von

b)

und

c)

jedoch nicht).

rundblick aktiv_icon

20:10 Uhr, 18.01.2016

.

. die Lösung bei

a)

ist

\to 2 π

WO hast du dieses Ergebnis berechnet?

.

Hansmax aktiv_icon

20:22 Uhr, 18.01.2016

Vielen Dank, den einem Summand mit dem Integral von

- \frac{Π}{2}

bis 0 fällt weg, aufgrund der Bedingung

g : x = 0

somit ist

a)

Resulat(fehlt) ausgerechnet

2 Π,

was mahch ich in den anderen Teilaufgaben falsch(hier wird der Fehler der Zurechnung der Fläche links von 0 nicht gemacht)?

ledum aktiv_icon

15:04 Uhr, 19.01.2016

Hallo
auch

a)

stimmt nicht.
Dein Fehler: du skizzierst die Funktionen nicht und hast deshalb die falschen grenze.

z

B

sinx+1 ist immer

\geq 0

also von Anfang bis Ende integrieren, wobei der anfang laut aufgabe bei

x = 0

ist und nicht bei

- \frac{π}{2}

Die anderen grenzen findest du nach einer Zeichnung!
geogebra ist so gut, dass man es haben sollte und es ist frei.
sonst besorg die ein anderes plot Programm.
gruß ledum

rundblick aktiv_icon

15:49 Uhr, 19.01.2016

.

" wobei der anfang laut aufgabe bei

x = 0

ist und nicht bei −π

/ 2

.."

@ ledum :
zu deiner Weiterbildung:
ob du von

\to 0

bis

2 π . .

. oder von

\to - \frac{π}{2}

bis

\frac{3 π}{2}

integrierst ..
spielt bei diesem Beispiel keine grosse Rolle, könnte aber den Aufwand etwas mindern
siehe auch oben

\to 19 : 35

Uhr,

18.01.2016

schau dir halt mal den Graph an

\to

von

\to f (x) = 1 + sin x

ok?

Hansmax aktiv_icon

12:02 Uhr, 20.01.2016

Vielen Dank, ich komme immer noch nicht ganz nach, wie bestimmt man den die Nullstellen bei Sinus und Cosinusfunktionen?

ledum aktiv_icon

16:44 Uhr, 20.01.2016

Hallo
man kennt die Funktionen oder sieht sie sich an! hast du jetzt einen Funktionsplotter?
Gruß ledum.
@ rundblick:
danke für die nette Nachhilfe, aber der Schüler müsste das begründen !

Hansmax aktiv_icon

17:17 Uhr, 20.01.2016

Vielen Dank, doch, aber ich kann nur auf 2 Dezimalstellen gerundete Werte dadurch bestimmen. Ich verstehe nicht genau wie man wenn man eine Nullstelle bei Sinus,Cosinus oder Tangens Funktionen auf die weiteren Nullstellen kommt.

ledum aktiv_icon

17:22 Uhr, 20.01.2016

sin (x)

hat Nst bei

n \cdot π

cos (x)

hat Nst bei

\frac{π}{2} + n \cdot π n = 0, \pm 1, \pm 2, ...

.
warum sieht man das nicht, wenn man eine Nst kennt und die Periode?
Gruß ledum

Hansmax aktiv_icon

17:35 Uhr, 20.01.2016

Vielen Dank, aber

z . B

. bei

sin (6 x) + 0.5 = 0

ist eine Nulstellle

17.507 \cdot Π,

eine nächste ist aber nicht

18.507 Π

. Was verstehe ich falsch?

ledum aktiv_icon

18:06 Uhr, 20.01.2016

Hallo
1.

sin 6 x

hat nicht Periode

2 π

sondern

2 \frac{π}{6}

2,

du willst nicht die Nst von sin(nx) sondern die _stellen

sin (6 x) = - 0,5

. zwischen 2 Nst liegen immer 2 gleiche -Werte von

sin (6 x)

wenn also

sin (6 x) = - 0.5

bei

x = x_{0}

die erste Stelle für

x > 0

ist dann hat er weitere solche bei

x_{0} + n \cdot 2 \frac{π}{6}

aber auch bei

\frac{π}{6} - x_{0}

und

\frac{π}{6} - x_{0} + n \cdot 2 \frac{π}{6}

plotte

f (x) = sin (6 x)

und

f (x) = - 0.5

Gruß ledum

Hansmax aktiv_icon

21:33 Uhr, 20.01.2016

Vielen Dank, muss man also alle drei Formeln zur Berechnung der möglichen Nullstellen verwenden, angewendet auf die jeweillige Periodenlänge?

ledum aktiv_icon

01:58 Uhr, 21.01.2016

Hallo
eigentlich sind das keine Formeln sondern Überlegungen, aber ich denke du nennst es Formeln, dann ja
Gruß ledum

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