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Folge auf Konvergenz bzw. Divergenz untersuchen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: divergenz, Folgen und Reihen, Grenzwert, Konvergenz

kitenum aktiv_icon

19:24 Uhr, 20.05.2017

Hallo,

Es soll die Folge

(a_{n})

mit

a_{n} := \sqrt{2 n + 2014} - \sqrt{n}

auf Konvergenz bzw. Divergenz untersucht werden.
Da

2 n > n

sollte die Folge nicht konvergieren, wenn ich das richtig verstehe. Wie beweise ich jetzt, dass die Folge divergent ist? Bei Konvergenz konnte man ja die Definition vom Grenzwert nutzen, was kann man jetzt benutzen?

Ich habe schon:

\sqrt{2 n + 2014} - \sqrt{n}

= \sqrt{n} (\sqrt{2 + \frac{2014}{n}} - 1)

n \to \infty : \sqrt{n} (\sqrt{2 + 0} - 1)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

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DrBoogie aktiv_icon

10:43 Uhr, 21.05.2017

"Da 2n>n sollte die Folge nicht konvergieren, wenn ich das richtig verstehe"

Verstehst Du falsch.
Wende den Trick

a - b = \frac{a^{2} - b^{2}}{a + b}

an.

tobit aktiv_icon

11:03 Uhr, 21.05.2017

Hallo zusammen!

Wenn auch die Begründung noch nicht stimmt: Mit der Vermutung, dass die Folge nicht konvergiert, liegt kitenum schon richtig.

Auch die Lösungsidee von kitenum lässt sich retten:

Es gilt in der Tat

a_{n} = \sqrt{n} (\sqrt{2 + \frac{2014}{n}} - 1)

für alle

n > 0

.

Der "zweite Faktor" dieser Darstellung ist konvergent gegen

\sqrt{2} - 1 > 0

und der "erste Faktor" ist bestimmt divergent gegen

+ \infty

.

Damit divergiert auch das Produkt bestimmt gegen

+ \infty

.

Insbesondere ist die Folge

(a_{n})_{n \in ℕ}

nicht konvergent.

Viele Grüße
Tobias

DrBoogie aktiv_icon

11:20 Uhr, 21.05.2017

\sqrt{2 n + 2014} - \sqrt{n} = \frac{2 n + 2014 - n}{\sqrt{2 n + 2014} + \sqrt{n}} = \frac{n + 2014}{\sqrt{2 n + 2014} + \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n} + \frac{2014}{\sqrt{n}}}{\sqrt{2 + \frac{2014}{\sqrt{n}}} + 1} \to \infty

.

Der Vorteil diese Methode: damit lassen sie praktisch alle Folgen der Art

\sqrt{a_{n}} - \sqrt{b_{n}}

behandeln. Und es gibt viele solche Aufgaben (alleine in den letzten Monaten gab es so um die 50 Stück hier im Forum), und nicht immer ist es so einfach wie hier, direkt den Grenzwert zu berechnen.

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