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Formel zur Bestimmung der Halbwertszeit herleiten

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: e, Funktion, Halbwert, ln, Logarithmus

 
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Matheflomo

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22:38 Uhr, 27.02.2012

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Hallo,

habe folgende Aufgabe und weiß ehrlich gesagt nicht, was überhaupt zu machen ist...

Aufgabe:
a) Leiten Sie die Formel zur Bestimmung der Halbwertszeit mithilfe der Funktionsgleichung f(t)=A⋅ e^(-kt) her.
Begründen Sie, dass diese Zeit umgekehrt proportional zur Zerfallskonstante k ist.

b) Zeigen Sie, dass für jeden Zeitpunkt t gilt: f(t+tH) =f(t)2
Erläutern Sie diese Gleichung im Sachzusammenhang.



Was soll ich da machen???

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Mitternachtsformel
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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meisterquitte

meisterquitte aktiv_icon

22:43 Uhr, 27.02.2012

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Hallo,

ich würde sagen, dass du f(t) umkehren musst (Umkehrfunktion). Weiß du wie man das macht?

Schönen Gruß

Christoph
Matheflomo

Matheflomo aktiv_icon

22:51 Uhr, 27.02.2012

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Nein, das weiß ich nicht...

Aber was hat es mit dem "proportional" auf sich?
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Aurel

Aurel

22:52 Uhr, 27.02.2012

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a)

f(t)=A⋅e-k⋅t

T ..........Halbwertszeit

f(0)=A⋅1

f(T)=A2

also: A2=A⋅e-k⋅T........... ln

ln(12)=-k⋅T⇔

ln(2-1)=-k⋅T⇔

-ln(2)=-k⋅T⇔

T=ln(2)k
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Aurel

Aurel

23:00 Uhr, 27.02.2012

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b)

12⋅A⋅e-k⋅t=A⋅e-k⋅(t+ln(2)k)⇔

12⋅e-k⋅t=e-k⋅(t+ln(2)k)⇔

ln(12)-k⋅t=-k⋅(t+ln(2)k)⇔

-ln(2)-k⋅t=-ln(2)-k⋅t... wahre Aussage
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Aurel

Aurel

23:06 Uhr, 27.02.2012

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Je größer k, desto schneller der Zerfall und somit auch kürzer die Halbwertszeit T. Das passt damit zusammen, dass T umgekehrt proportional zu k ist
Frage beantwortet
Matheflomo

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23:10 Uhr, 27.02.2012

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Danke!!!