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Funktionsvorschrift bestimmen, Funktion 3. Grades

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Grad, Integral, Steckbriefaufgabe

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15:38 Uhr, 29.04.2012

Hi,
möchte erstmalandas Forum danken, habe hier für viele meiner Fragen Lösungswege gefunden, nur stehe ich hier an Frage, und komme gerade nicht weiter ;-)

Ich helfe einem Schüler, der gerade kurz davor steht, im Mathe GK eine Klausur zu schreiben.

Aufgabe:
Eine ganzrationale Funktion 3. Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung, hat ein Maximum bei

x = 3^{0,5};

und schließt im ersten Quadranten mit der x-Achse eine Fläche mit dem Inhalt

A = 2,25

ein. Um welche Funktion handelt es sich ?

Ansatz:

f (x) =

ax^3

+

bx^2

+

+ d

(allg. Formel für Funktion 3. Grades)

gegeben:

1 .) f (0) = 0

(punktsymmetrisch zum Ursprung)

- \to d = 0

2 .)

Der Term mit cx^2 fällt weg, da es sich hier um eine punktsymmetriosche Funktioon handelt

- \to f (x) =

ax^3

+

3 .) f' (x) = 3

ax^2

+ c

f' (3^{0,5}) = 0

umformen nach

c

ergibt:

c = - 9 a

- \to

schreibe die Funktion mit neuem

c

auf:

f (x) =

ax^3

+

(-9)ax

4 .) A =

Integral über 0 bis

f (x) = 0

(-nullstelle), allerdings weiß ich nicht wo die Nullstelle ist ? Ich stelle die Stammfunktion auf und setze das ganze

A = 2,25

. Löse auf, aber dadurch gewinne ich keine neue Information.

Ich habe mal eine Beispielfunktion aus dem Netz angehängt. Diese Funktion entspricht vom Aufbau her unserer gesuchten Funktion.

Nun komme ich ab hier nicht weiter.

Wäre dankbar für jegliche Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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15:39 Uhr, 29.04.2012

Es muss kein kompletter Lösungsweg sein, ihr könnt mir auch nur bestimmte schritte als Tipp geben, alles zählt. Lg

anonymous

16:16 Uhr, 29.04.2012

Soweit ist erst einmal alles richtig.

Nun sind die Nullstellen gesucht.
Für eine Nullstelle muss, wie du schon geschrieben hast

f (x) = 0

gelten.
Also:

f (x) = 0

a \cdot x^{3} - 9 \cdot a \cdot x = 0

a \cdot (x^{3} - 9 x) = 0

a \cdot x \cdot (x^{2} - 9) = 0

a \cdot x \cdot (x + 3) \cdot (x - 3) = 0

Ein Produkt ist gleich

0,

wenn mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist.

Somit gibt es drei Nullstellen:

x_{1} = 0

x_{2} = - 3

x_{3} = 3

Sollte man das Binom

(x^{2} - 9) = (x + 3) \cdot (x - 3)

nicht erkennen, kann man natürlich auch die Gleichung

x^{2} - 9 = 0

auf andere Weise lösen, um auf die Nullstellen

x_{2} = - 3

und

x_{3} = 3

zu kommen.

Für die beschriebene Fläche muss also von 0 bis 3 integriert werden.

A = \int_{0}^{3} (a \cdot x^{3} - 9 \cdot a \cdot x) d x

A = a \cdot \int_{0}^{3} (x^{3} - 9 \cdot x) d x

A = a \cdot {[\frac{x^{4}}{4} - 9 \cdot \frac{x^{2}}{2}]}_{0}^{3}

A = a \cdot [(\frac{3^{4}}{4} - 9 \cdot \frac{3^{2}}{2}) - (\frac{0^{4}}{4} - 9 \cdot \frac{0^{2}}{2})]

A = a \cdot (- \frac{81}{4})

2,25 = a \cdot (- \frac{81}{4})

a = - \frac{1}{9}

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16:50 Uhr, 29.04.2012

Vielen Dank für die Hilfe! Jetzt klappts auch ;-)

KLeine Frage: Habe hier eine ähnliche Aufgabe, bei der ich auch wieder irgendwo nicht weiterkomme:

f

sei eine ganzrationale Funktion 3.Grades, deren Graph punktsymmterisch zum Ursprung ist, durch den Punkt

B (\frac{2}{0})

geht und das Quadrat

A (\frac{0}{0}), B (\frac{2}{0}), C (\frac{2}{- 2})

und

D (\frac{0}{- 2})

im Verhältnis

1 : 5

teilt. BEstimmen sie die Funktionsgleichung von

f

.

Vorgehen bislang:

f (x) =

ax^3

+

bx^2

+

+ d

1.)wie auch vorher:
Punktsymmtetrisch heißt, das die Terme mit geradem Exponent über dem

x

wegfallen.

f (x) =

ax^3

+

+ d

2 .) f (2) = 0, d . h

. ax^3

+

+ d = 0

3 .) f (0) = 0 - \to d = 0

(Warum wir das hier so annehmen, weiß ich leider nicht, evtl. wäre eine Erklärung sehr toll, weil punktsymmetrisch heißt ja nicht direkt, dass die Funktion durch

(\frac{0}{0})

geht, oder irre ich mich da?)

4 .)

Fläche

A (q)

des Quadrats:

A (q) = 2 \cdot 2 = 4,

- \to

Fläche soll im Verhältnis

1 : 5

geschnitte werden,

d . h

. Quadrat in 6 Teile aufteilen, jedes Teilhat die Fläche

\frac{4}{6}

.

Danach habe ich versucht, mithilfe von Integrieren etwas herauszufinden, aber vergebens.

Lg

anonymous

17:40 Uhr, 29.04.2012

3 .) :

Es heißt, dass der Graph punktsymmetrisch zum URSPRUNG

(0 | 0)

sein muss.
Und da die Stelle

x = 0

im Definitionsbereich liegt und bei einer Funktion jeder Stelle

x

eindeutig ein Funktionswert

y

zugeordent ist, kann der Graph nicht einfach über oder unter dem Ursprung vorbei verlaufen. Wenn nämlich beispielsweise

f (0) = 4

gelten würde müsste aufgrund der Symmetrie zum Ursprung auch

f (0) = - 4

gelten. Die Funktion kann aber nicht gleichzeitig die Werte 4 und

- 4

an der gleichen Stelle annehmen.

Daher muss

(0 | 0)

auf dem Graphen liegen.

Aber die Bedingung

3 .)

ist eigentlich überflüssig.
Du hast ja selbst schon geschrieben, dass bei ganzrationalen Funktionen, deren Graph punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft, die Teile mit geradem Exponenten wegfallen.

Nun könnte man nämlich statt

d

auch

d \cdot x^{0}

schreiben. Und 0 ist eine gerade Zahl. Daher muss

d \cdot x^{0}

auch wegfallen.

Aufgrund der Bedingung, dass der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung sein soll, kann man also auch direkt folgendermaßen ansetzen:

f (x) = a \cdot x^{3} + c \cdot x

Wie du auch schon richtig geschrieben hast, gilt des Weiteren:

a \cdot 2^{3} + c \cdot 2 = 0

c = - 4 \cdot a

\Rightarrow f (x) = a \cdot x^{3} - 4 \cdot x

Nun zur Bedingung mit dem Quadrat. Hier empfiehlt es sich erst einmal eine Skizze anzufertigen.
(Siehe: Anhang)

Es wird mal angenommen, dass der Graph für

x \in [0; 2]

komplett im Quadrat liegt, sonst wird das zu kompliziert.

Nun wollen wir wissen, wie der Flächeninhalt A der vom Graphen und der x-Achse im 4. Quadranten begrenzte Flächeninhalt ist. Dazu muss von 0 bis 2 integriert werden.

A = | \int_{0}^{2} (a \cdot x^{3} - 4 \cdot a \cdot x) d x |

An dieser Stelle möchte ich die Betragsstriche hervorheben, weil der Wert des Integral in diesem Fall negativ ist, da die Fläche unter der x-Achse liegt.
In diesem Fall kann man die Betragsstriche weglassen, wenn man stattdessen ein Minus vor das Integral schreibt, um so den negativen Wert des Integrals positiv zu machen.
(Oder hast du schonmal eine Fläche mit negativem Flächeninhalt gesehen?)

(Wenn man die Betragsstriche einfach so weglassen würde, hätte am Ende das a das falsche Vorzeichen. Der Graph der so enstehenden Funktion, schließt dann zwar auch mit der x-Achse im Interval

[0; 2]

eine Fläche mit gleichem Flächeninhalt ein, doch liegt diese Fläche dann oberhalb statt unterhalb der x-Achse.)

A = - \int_{0}^{2} (a \cdot x^{3} - 4 \cdot a \cdot x) d x

A = - a \cdot \int_{0}^{2} (x^{3} - 4 \cdot x) d x

A = - a \cdot {[\frac{x^{4}}{4} - 2 \cdot x^{2}]}_{0}^{2}

A = - a \cdot [(\frac{2^{4}}{4} - 2 \cdot 2^{2}) - (\frac{0^{4}}{4} - 2 \cdot 0^{2})]

A = - a \cdot (- 4)

A = 4 \cdot a

Wie du schon geschrieben hast, gilt nun auch

A = \frac{A_{q}}{6} = \frac{2 \cdot 2}{6} = \frac{4}{6}

\frac{4}{6} = 4 \cdot a

a = \frac{1}{6}

Somit lautet das Ergebnis:

f (x) = \frac{1}{6} \cdot x^{3} - \frac{2}{3} \cdot x

Edit: Ich hatte vergessen die Zeichnung anzuhängen. Jetzt sollte sie da sein.

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17:45 Uhr, 29.04.2012

Hey, Super vielen Dank!

Da muss ich wohl noch an der ein oder anderen Stelle an den Grundregeln arbeiten ;-)
MfG

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