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Ganzrationale Funktion bestimmen??

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Ganzrationale Funktionen, Symmetrie

malinchen aktiv_icon

18:46 Uhr, 24.08.2016

Aufgabe:

Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion, deren Graph zur y-Achse symmetrisch ist und für die gilt:

a)

Der Graph geht durch

O (0 | 0)

und hat bei

x_{0} = 3

eine Nullstelle. Die Steigung in dieser Nullstelle beträgt

- 48

b) W (1 | 3)

ist Wendepunkt des Graphen, die zugehörige Wendetangente hat die Steigung

- 2

.

Meine bisherige Lösung:

a) f (0) = 0

f (3) = 0

f' (3) = - 48

Also ich weiß, dass wenn der Graph symmetrisch zur x-Achse ist, nur gerade Exponenten enthält, jedoch weiß ich nicht, wie ich jetzt weiter verfahren soll? Fehlen noch Bedingungen?

b) f (1) = 3

f'' (1) = 0

f' (1) = - 2

Auch hier das selbe Problem ..

Ich weiß nicht, wievielten Grades der Graph sein muss, also was muss ich denn jetzt machen??

Danke schon einmal im Voraus :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Symmetrie (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Symmetrie von Vierecken

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ledum aktiv_icon

19:39 Uhr, 24.08.2016

Hallo
du hast richtig die 6 Bedingungen aufgeschrieben und nur gerade Exponenten, also kannst du 6 Unbekannte bestimmen, daraus kannst du den geraden Grad ablesen
Gruß ledum

Atlantik aktiv_icon

09:05 Uhr, 25.08.2016

a)

Alternative über die Nullstellenform der Parabel

f (x) = a x^{2} (x - 3) (x + 3),

da parallel zur y-Achse

f (x) = a x^{2} (x^{2} - 9) = a x^{4} - 9 a x^{2}

f´(x)=

4 a x^{3} - 18 a x

f´(3)=

108 a - 54 a = 54 a

54 a = - 48

a = - \frac{8}{9}

f (x) = - \frac{8}{9} x^{4} + 8 x^{2}

mfG

Atlantik

G r a p h :

Roman-22

10:31 Uhr, 25.08.2016

>

Ich weiß nicht, wievielten Grades der Graph sein muss,
Die Aufgabe ist auch nicht eindeutig lösbar, es gibt unendlich viele Lösungen.
Du kannst sicher auch eine Polynomfunktion vom Grad

100

finden, welche den drei von dir aufgestellten Gleichungen genügt (ich gehe davon aus, dass im Gegensatz zur Auffassung von ledum die beiden Aufgaben

a)

und

b)

getrennt voneinander zu betrachten sind).
Da es viele Lösungen gibt und nur eine gesucht ist, ist es sinnvoll, nach der einfachsten Lösung Ausschau zu halten.
Du hast drei Gleichungen und kannst daher im Idealfall drei unbekannte Parameter berechnen. Die einfachste Funktionsgleichung, von der du da ausgehen kannst, ist daher

f (x) = a \cdot x^{4} + b \cdot x^{2} + c

.

Allerdings solltest du dir bei

a)

den Ansatz von Atlantik auch näher ansehen. Wegen der Symmetrie ist nicht nur

x_{0} = 3

eine Nullstelle, sondern auch

x_{1} = - 3

. Und ebenfalls wegen der Symmetrie und weil Polynomfunktionen stetige Ableitungen haben und keine Singularitäten wie zB eine Spitze aufweisen, ist die Tangente in

(0 / 0)

waagrecht, der Graph berührt dort also die x-Achse

\to

es ist eine mehrfache (im einfachsten Fall doppelte) Nullstelle.
Daher führt der Ansatz

f (x) = a \cdot (x - 0) \cdot (x - 0) \cdot (x - 3) \cdot (x + 3)

recht rasch zum Ziel, denn den einzigen unbekannten Faktor a kannst du wie gezeigt mithilfe von

f' (3) = - 48

ermitteln.

Bei

b)

gibts diese Abkürzung nicht, da musst du eben klassisch das entsprechende Gleichungssystem lösen.
Zu deiner Kontrolle:

f_{b} (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{3}{2} x^{2} + \frac{17}{4}

R

Bummerang

14:30 Uhr, 25.08.2016

Hallo,

"Bei

b)

gibts diese Abkürzung nicht, da musst du eben klassisch das entsprechende Gleichungssystem lösen."

Ist nicht falsch, denn es gibt andere Wege und ob diese eine Abkürzung darstellen ist individuell unterschiedlich. Für mich wäre der folgende Weg noch eine Abkürzung:

Wegen der Symmetrie der Funktion sind 2 Nullstellen der zweiten Ableitung bekannt und man kann für ein Polynom minimalem Grades ansetzen:

f^{''} (x) = a \cdot (x - 1) \cdot (x - (- 1)) = a \cdot (x - 1) \cdot (x + 1) = a \cdot (x^{2} - 1) = a \cdot x^{2} - a

Wegen der Achsensymmetrie der Funktion zur y-Koordinate ist die erste Ableitung punktsymmetrisch zum Ursprung

(d . h

f^{'} (0) = 0)

und kann berechnet werden als:

f^{'} (x) = \int_{0}^{x} f^{''} (x) d x = \int_{0}^{x} a \cdot x^{2} - a d x

f^{'} (x) = {[\frac{a}{3} \cdot x^{3} - a \cdot x]}_{0}^{x} = [\frac{a}{3} \cdot x^{3} - a \cdot x] - [\frac{a}{3} \cdot 0^{3} - a \cdot 0] = \frac{a}{3} \cdot x^{3} - a \cdot x

Wegen

f^{'} (1) = - 2

ergibt sich

a = 3

und damit

f^{'} (x) = x^{3} - 3 \cdot x

Und zu guter letzt, weil

f (1) = 3

ist:

f (x) = \int_{1}^{x} f^{'} (x) d x + 3 = \int_{1}^{x} x^{3} - 3 \cdot x d x + 3

f (x) = {[\frac{1}{4} \cdot x^{4} - \frac{3}{2} \cdot x^{2}]}_{1}^{x} + 3 = [\frac{1}{4} \cdot x^{4} - \frac{3}{2} \cdot x^{2}] - [\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{3}{2} \cdot 1^{2}] + 3 = \frac{1}{4} \cdot x^{4} - \frac{3}{2} \cdot x^{2} + \frac{17}{4}

Einfacher finde ich diesen Weg, weil wirklich rechnen muss man nur an der Stelle, an der man den Leitkoeffizienten von

f^{'} (x)

und das Absolutglied von

f (x)

berechnet. Da dürfte mittels Gleichungssystem und Gauss etwas mehr Rechenarbeit anfallen.

PS: Bevor jemand bemängelt, dass ich die Berechnungen vom Ansatz

f^{''} (x) = a \cdot (x - 1) \cdot (x - (- 1))

zum Ergebnis

f^{''} (x) = a \cdot x^{2} - a

unterschlagen habe, diese "Berechnungen" kann man hier allein durch die Kenntniss der binomischen Formeln "sparen" und bei

- (- 1) = 1

wird auch nicht wirklich gerechnet. Der Rest der unterschlagenen "Berechnungen" sind Trivialarithmeitk wie

z . B

. das Erhöhen der Exponenten bei der Integration und die Berechnung von

\frac{3}{3} = 1

malinchen aktiv_icon

17:18 Uhr, 25.08.2016

Danke, ich konnte die Aufgabe jetzt richtig lösen !

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