Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Geometrische Reihe - Grenzwert

Geometrische Reihe - Grenzwert

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Geometrische Reihe, Grenzwert, reih

Jomeus aktiv_icon

12:40 Uhr, 15.08.2016

Hallo Leute,

ich benötige Euren Support.

Es geht um den Grenzwert einer geometrischen Reihe.

Die Aufgabe lautet:

Berechnen Sie den Grenzwert der Reihe

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{{(π - 1)}^{k + 1}}{4^{k}}

.

Hinweis: Geometrische Reihe

Nun zur geometrischen Reihe:

Ich weiß, dass eine geometrische Reihe wie folgt definiert ist.

\sum_{k = 0}^{\infty} a_{0} \cdot q^{k} = \frac{a_{0}}{1 - q}

Ich würde nun wie folgt umformen...

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{{(π - 1)}^{k + 1}}{4^{k}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{{(π - 1)}^{k} \cdot {(π - 1)}^{1}}{4^{k}} = \sum_{k = 1}^{\infty} (\frac{{(π - 1)}^{k}}{4^{k}}) \cdot {(π - 1)}^{1} = \sum_{k = 1}^{\infty} {(\frac{π - 1}{4})}^{k} \cdot {(π - 1)}^{1}

Ich würde nun sagen, dass

a_{0} = {(π - 1)}^{1}

ist und dass

q = \frac{π - 1}{4}

ist

Der Grenzwert lautet demnach

\frac{a_{0}}{1 - q} = \frac{π - 1}{1 - \frac{π - 1}{4}} \to 4,61

Ist meine Annahme korrekt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

DrBoogie aktiv_icon

12:59 Uhr, 15.08.2016

Ja, richtig

Roman-22

13:04 Uhr, 15.08.2016

>

Ist meine Annahme korrekt?
Nicht ganz.
Du hast übersehen, dass deine Summe erst ab Index 1 läuft, deine Formel aber nur gilt, wenn sie ab Index 0 läuft.

Merk dir besser als Summenformel

S = E r s t e r S u m m a n d \cdot \frac{1}{1 - q}

.
(wobei

E r s t e r S u m m a n d

hier unabhängig vom konkreten Index zu verstehen ist)
Das ist dann unabhängig vom Laufindex und du musst dich nicht mir fehleranfälligen Indexverschiebungen herumschlagen. Du musst hier also

\frac{a_{1}}{1 - q}

rechnen.

Formal solltest du auch noch anmerken, dass für dein

q

gilt:

| q | < 1,

denn sonst dürftest du diese Summenformel ja nicht anwenden und die Reihe wäre auch nicht konvergent.

Das richtige Ergebnis vereinfacht sich zu

\frac{{(π - 1)}^{2}}{π - 5} \approx 2,468

EDIT: Der Term muss natürlich

- \frac{{(π - 1)}^{2}}{π - 5}

oder

\frac{{(π - 1)}^{2}}{5 - π}

lauten!
Danke DrBoogie für die Korrektur.

R

Jomeus aktiv_icon

13:17 Uhr, 15.08.2016

Hallo Roman,

wie kommst Du auf Dein Endergebnis

\frac{{(π - 1)}^{2}}{π - 5}

Roman-22

13:22 Uhr, 15.08.2016

EDIT: Ich hatte in dem Term einen Vorzeichenfehler. Ansonsten

. .

.
Setz einfach ein und vereinfache.
Was ist

a_{1}

bei dir?
Kommst du auf ein anderes Ergebnis? Dann rechne hier vor.

DrBoogie aktiv_icon

13:25 Uhr, 15.08.2016

Du hast die Reihe ab

0

berechnet, also musst Du von Deinem Ergebnis einfach den

0

-ten Term abziehen, um das richtige Ergebnis zu bekommen:

\frac{π - 1}{1 - \frac{π - 1}{4}} - (π - 1) = (π - 1) \cdot (\frac{1}{1 - \frac{π - 1}{4}} - 1) = (π - 1) \cdot (\frac{4}{4 - (π - 1)} - 1) = (π - 1) \cdot (\frac{4}{5 - π} - 1) = (π - 1) \cdot \frac{π - 1}{5 - π}

DrBoogie aktiv_icon

13:25 Uhr, 15.08.2016

π - 5

im Nenner ist natürlich falsch, es muss

5 - π

sein, sonst wäre das Ergebnis negativ.

Jomeus aktiv_icon

13:31 Uhr, 15.08.2016

Mir ist unklar, wie die geometrische Reihe aufgebaut ist.

a_{0}

beschreibt das Folgenglied an der Stelle 0.

Meine Reihe beginnt jedoch erst bei

k = 1

Somit müsste das erste Folgenglied meiner Reihe

a_{1}

sein.

Ich habe noch nicht verstanden wie ich die Folgenglieder bestimme

DrBoogie aktiv_icon

13:33 Uhr, 15.08.2016

"Somit müsste das erste Folgenglied meiner Reihe

a_{1}

sein."

Nein. Es ist

a_{0} \cdot q^{1}

.
Der

n

-te Term ist

a_{0} \cdot q^{n}

Roman-22

13:33 Uhr, 15.08.2016

>

Ich habe noch nicht verstanden wie ich die Folgenglieder bestimme
Du hast doch nach deinem Summenzeichen einen Term stehen, in dem

k

vorkommt.
Dort setzt du einfach

k = 1

ein und erhältst damit

a_{1}

.

Die Alternative hat dir DrBoogie vorgestellt und sie bestand darin, von deinem Ergebnis den

(\in

deiner Summe ja nichtexistenten) Summanden

a_{0}

abzuziehen.

>

"Somit müsste das erste Folgenglied meiner Reihe

a 1

sein."
Ja, wenn man davon absieht, dass es das Reihenglied oder ein Summand ist.

> >

Nein. Es ist a0⋅q1.
aber

a_{0} \cdot q

IST doch

a_{1}!

Also der Reihe(sic!) nach:

a_{k} = \frac{{(π - 1)}^{k + 1}}{4^{k}}

a_{1} = \frac{{(π - 1)}^{1 + 1}}{4^{1}} = \frac{{(π - 1)}^{2}}{4}

S = a_{1} \cdot \frac{1}{1 - q} = \frac{{(π - 1)}^{2}}{4} \cdot \frac{1}{1 - \frac{π - 1}{4}} = \frac{{(π - 1)}^{2}}{4} \cdot \frac{4}{5 - π} = \frac{{(π - 1)}^{2}}{5 - π}

hier steht deshalb

a_{1},

weil deine Reihe mit

k = 1

beginnt.
Würde sie mit

k = 3

beginnen, müsstest du eben

a_{3}

nehmen, weil das dann dein erster Summand ist.

R

DrBoogie aktiv_icon

13:47 Uhr, 15.08.2016

"aber

a_{0} \cdot q

IST doch

a_{1}

"

Ja, wenn man die Summanden als

a_{n}

bezeichnet.
Allerdings ist

a_{0}

eigentlich ein Vorfaktor der ganzen Reihe und nur "zufällig" ein Summand, damit kommt der Fragesteller anscheinend nicht klar, mit dieser "Doppelrolle" von

a_{0}

Jomeus aktiv_icon

14:30 Uhr, 15.08.2016

Also ist

a_{0} = a_{k}

DrBoogie aktiv_icon

14:36 Uhr, 15.08.2016

a_{0} = a_{k}

ist nur im Fall

k = 0

wahr.
Du hast die Reihe

a_{0} + a_{0} q + a_{0} q^{2} + a_{0} q^{3} + . . .

Wenn Du diese Summanden als

a_{n}

bezeichnest, dann gilt

a_{n} = a_{0} q^{n}

Jomeus aktiv_icon

15:01 Uhr, 15.08.2016

a_{0} = a_{0} \cdot q^{0} = a_{0} \cdot 1 = a_{0}

a_{1} = a_{0} \cdot q^{1}

a_{2} = a_{0} \cdot q^{2}

ist das so richtig?

Jomeus aktiv_icon

15:03 Uhr, 15.08.2016

a_{0}

erhalte ich, wenn ich für

k = 0

einsetze?

DrBoogie aktiv_icon

15:21 Uhr, 15.08.2016

Ja, so ist es.

1319711

1319684

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?