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Grenzwert
Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe
Tags: Grenzwert
 
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anonymous 01:06 Uhr, 02.11.2008  |
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Hallo,
Wie kann ich jetzt an Hand eines Grenzwertes zeigen, dass diese Funktion im Unendlichen gegen den WErt 3,141.... läuft? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff) Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige Grenzwerte Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen Grenzwerte im Unendlichen e-Funktion | |
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f(x) = x/2 + sin(2*Pi/x)
Für x gegen Unendlich geht 2*Pi/x gegen Null. Der Wert des Sinus geht gegen Null, wenn sein Argument (2*Pi/x) gegen Null geht.
Bleibt noch x/2. Das geht gegen Unendlich, wenn x gegen Unendlich geht.
Insgesamt geht also f(x) gegen Unendlich für x gegen Unendlich.
GRUSS, DK2ZA
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Hallo, der Sinus bleibt bekanntlich im Intervall . wird aber unendlich groß. So wie du deine Funktion aufgeschrieben hast, besitzt sie keinen Grenzwert. Schau dir den Graphen mal in einem größeren Intervall an. MfG Hannes |
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anonymous 12:08 Uhr, 02.11.2008 |
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Mmh... als ich den Beitrag schrieb konnte ich meine Notizen dazu nicht finden, ich suche mal danach und schaue mal ob ich mich flasch erinnert habe. So gefunden... Ja, es ist ein Produkt und keine Summe. Die Deg-Schreibweise f(x)=(x/2)*sin(360°/x) Rad-Schreibweise Ich hatte dazu auch einige Werte mal per Hand berechnet: . Also für haben wir schon eine Übereinstimmung bis zur 7ten Stelle nach dem Komma. Dafür muss man jetzt ja auch irgendwie auf den Grenzwert kommen. |
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Das ist natürlich etwas anderes!
Es gilt:
Für sehr kleine Werte des Arguments kann man den Sinus durch sein Argument ersetzen, d.h. sin(x)/x geht gegen 1, wenn x gegen Null strebt.
An der Reihenentwicklung der Sinusfunktion kann man das sehr schön sehen:
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ....
sin(x)/x = 1 - x^2/3! + x^4/5! - x^6/7! + ...
Wenn x gegen Null geht nähert sich sin(x) also immer mehr dem Wert x.
Wenn du bei der gegebenen Funktion berücksichtigst, dass für sehr große Werte von x das Argument der Sinusfunktion (2*Pi/x) gegen Null geht, dann kannst du also für sehr kleine x die Funktion so schreiben:
f(x) = x/2 * 2*Pi/x
Nach dem Kürzen ergibt das tatsächlich Pi.
GRUSS, DK2ZA
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anonymous 13:44 Uhr, 02.11.2008 |
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So ganz verstehe ich das noch nicht. Also, weil im Unendlichen den Wert Unendlich annimmt und der Sinus von im Unendlichen gegen 0 läuft kann ich diese beiden Faktoren kürzen und lasse stehen? Ich kann auch nicht viel mit dieser Reihenentwicklung anfangen. Gibt es dazu irgendwo verständliche Literatur bzw. kannst du es mir nochmal etwas ausführlicher erklären wie man bei dieser Funktion auf den Grenzwert kommt? Und kann man das ganze auch irgendwie mathematisch angemessen aufschreiben, beispielsweise mit einem Limes? |
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Nein, Unendlich mal Null kann man nicht rechnen.
Es ist einfach so, dass die Funktion sin(x) für x-Werte, die sehr nahe bei 0 liegen, Beispiele: sin(0,01) = 0,00999983333417.... sin(-0,003) = -0,0029999955.... sin(0,0001) = 0,0000999999998333.... Die Übereinstimmung ist umso besser, je näher x bei 0 liegt und für x=0 ist sie vollkommen.
Bei deiner Formel sin(2*Pi/x) geht das Argument (2*Pi/x) der Sinusfunktion gegen 0, wenn Damit wird die ganze Funktion zu f(x) = x/2 * 2*Pi/x f(x) = Pi (mit einem Fehler, der gegen Null strebt, wenn x gegen Unendlich geht)
GRUSS, DK2ZA |
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anonymous 17:05 Uhr, 02.11.2008 |
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x->unendlich x->unendlich x->unendlich kann man soweit schreiben oder gibt es dafür eine andere Schreibweise? |
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GRUSS, DK2ZA
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