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Grenzwert bei Folgen (Epsilon)

Schüler Fachoberschulen, 12. Klassenstufe

Tags: Epsilon, Folgen, Grenzwert

 
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glowhand

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11:19 Uhr, 31.10.2008

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Hallo!
Bezüglich Grenzwerten von Folgen wird immer gerne ein Epsilon verwendet, dessen Bedeutung ich einfach nicht verstehen will.
Im Script steht zum Beispiel folgendes:

∀ ϵ ≥ 0 ∃ N ≥ n 0 ∀ n ≥ N | a n − b | < ϵ

Was soll das bedeuten?

Für aalle Epsiolin größer gleich - es gibt eine 0 in N größer gleich - ein n, was 0 sein kann für alle n, das nicht 0 sein kann - größer gleich - großes N mal Betrag von (a-n minus b) kleiner Epsilon...

Ich hoffe, man verzeiht mir meine unerreichbare Unwissenheit^^


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

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fantasma

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11:35 Uhr, 31.10.2008

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In Worten heisst das Ganze so:

Für alle ε>0 (also insbesondere für beliebig kleine!!) gibt es ein (zugehöriges) N≥n0, so dass für alle n≥N die Folgenglieder an der Folge (an)(n element ℕ) um weniger als ε von b abweichen.

D.h. wenn ich ε fest vorgebe, dann findet man stets einen Wert N, ab dem ALLE Folgenglieder innerhalb der epsilon-Umgebung um b drinnen liegen.
Die Folge konvergiert also gegen b,d.h. nähert sich diesem Wert beliebig nahe an.
glowhand

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12:08 Uhr, 03.11.2008

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Ehrlich gesagt verstehe ich immer noch nur Bahnhof ;)

Vielleicht könnte mir jemand ein Beispiel posten, wenn es keine zu großen Umstände bereitet?
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fantasma

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12:23 Uhr, 03.11.2008

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O.k., ein Beispiel.
Definiere die Folge (an) durch an:=1n für alle n aus ℕ. Also a1=1,a2=12,a3=13 usw. Stelle Dir vor, Du malst alle an als Punkte auf den Zahlenstrahl.
Dann siehst Du, dass sich die Werte immer mehr der Null nähern. Für große n tummeln sich die an ganz nahe bei der Null...
Sei nun ε>0 vorgegeben. Betrachten wir ruhig mal konkret ε=0,1.
Dann gilt in unserem Beispiel ganz offensichtlich, ohne dass wir groß rechnen müssen: für n>10 ist an<0,1=ε.
Denn 111,112,113 usw., das ist alles kleiner als 110.
Für alle n≥11 ist also |an-0|<ε für unser vorgegebenes ε.
an weicht also dann von der Null um weniger als ε ab, d.h. befindet sich in der sog. "epsilon-Umgebung" um Null. "Fast alle" Folgenglieder befinden sich somit in dieser epsilon-Umgebung. Und das für jedes beliebig vorgegebene ε>0. D.h., die Folgenglieder nähern sich der Null beliebig nahe an.

Zur Veranschaulichung können wir uns so eine epsilon-Umgebung mal in den drei "Standard"-Raum-Dimensionen ansehen - der Einfachheit halber mal jeweils um den Ursprung.

Auf dem Zahlenstrahl ist die epsilon-Umgebung um Null das Intervall ]-ε;+ε[.

In der zweidimensionalen Ebene ist die epsilon-Umgebung um den Ursprung ein Kreis mit Radius ε und Mittelpunkt (0;0), dessen Rand nicht mit zur Umgebung gehört.

Im dreidimensionalen Raum ist die epsilon-Umgebung um den Ursprung eine Kugel mit dem Radius ε und Mittelpunkt (0;0;0), bei welcher wiederum der "Rand" nicht mit dazu gehört.
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