Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Grenzwert berechnen (Nullfolge)

Grenzwert berechnen (Nullfolge)

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Einschließungsprinzip, Folgen, Grenzwert, lim, Nullfolge, Reihen

lebenlechzer aktiv_icon

15:34 Uhr, 06.11.2009

Hallo!

Ich habe mich leider bisher nur sehr theoretisch mit Folgen und Reihen auseinandersetzen k￶nnen. Darum wei￟ ich leider nicht einmal ansatzweise wie ich fr folgende Folgen zeige, dass sie Nullfolgen sind (und zwar anhand des Einschlie￟ungsprinzipes):

$a_{n} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$

bzw.

$b_{n} = \frac{n² + 1000 n + 30020}{2 n³ - 1005}$

Vielleicht kann mir jemand von euch helfen, wie ich hier berhaput ansetzen soll! Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

michaL aktiv_icon

15:50 Uhr, 06.11.2009

Hallo Wolfgang,

a)

0 \leq a_{n}

sollte klar sein. Außerdem gilt:

a_{n} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} = (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) \frac{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} < \frac{1}{2 \sqrt{n}}

Dass

\frac{1}{2 \sqrt{n}} \to 0

für

n \to \infty

, lässt sich einfach beweisen.

b) könntest du doch mal auf gleiche Weise probieren.

Mfg Michael

smoka

15:51 Uhr, 06.11.2009

Ich weiß leider nicht was das "Einschließungsprinzip" sein soll.
Ich würde es so machen:
Erweitere

a_{n}

mit

\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}

. Vielleicht siehst Du es dann schon.
Bei

b_{n}

Klammere die höchste Potenz sowohl im Zähler als auch im Nenner aus und kürze mit ihr.

arrow30

16:02 Uhr, 06.11.2009

$0 < \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} = \sqrt{n (1 + \frac{1}{n})} - \sqrt{n} = \sqrt{n} * \sqrt{1 + \frac{1}{n}} - \sqrt{n} = \sqrt{n} (\sqrt{1 + \frac{1}{n}} - 1) < \sqrt{n} (1 + \frac{1}{n} - 1) = \frac{\sqrt{n}}{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}, \lim_{n \to \infty} \frac{¹}{\sqrt{n}} = 0$

lebenlechzer aktiv_icon

16:02 Uhr, 06.11.2009

@Michael: Das scheint mir plausibel zu sein. Ich frage mich nur noch, warum du den vorletzten Ausdruck mit dem letzten nach oben abschätzen darfst?

Und was das zweite Beispiel betrifft, hab ich keine Ahnung, womit ich da erweitern soll...

arrow30

16:26 Uhr, 06.11.2009

$d a n^{3} > 1005 \forall n \geq 11 f o \lg \frac{n^{2} + 1000 + 30020}{2 n^{3} - 1005} < \frac{n^{2} + 1000 n + 30020}{2 n^{3} - n^{3}} = \frac{n^{2} + 1000 n + 30020}{n^{3}} = \frac{1}{n} + \frac{1000}{n^{2}} + \frac{30020}{n^{3}} = 0$

PS: wenn man den Nenner verkleinert vergrößert man die Zahl

lebenlechzer aktiv_icon

16:37 Uhr, 06.11.2009

Oh Mann.. wie soll ich denn da jemals selber drauf kommen? Bekommt man das ins Gefhl?

Aja, und meine Frage trotzdem nochmal:

Warum ist der Grenzwert des vorletzten Ausdrucks gleich dem Grenzwert des letzten Ausdrucks (in der Ungleichung bei MichaL)? Nur weil ich nach oben abgesch￤tzt habe?

arrow30

16:42 Uhr, 06.11.2009

hmm wenn $0 \leq \underset{n \to \infty}{\lim a_{n}} < 0 d a n n i s t d e r G r e n z w e r t e i n e N u l l$

osenboz aktiv_icon

19:08 Uhr, 07.11.2009

herzlichen dank!
die antwort hat mir sehr geholfen!

osenboz aktiv_icon

19:42 Uhr, 07.11.2009

ok, ich hätte doch noch eine kleine verständnissfrage zum einschließungsprinzip:

das einschließungsprinzip besagt ja folgendes:

${a_{n}}, {c_{n}} \to a$ und ${a_{n}} \leq {b_{n}} \leq {c_{n}}$ $\Rightarrow {b_{n}} \to a$

wenn ich das jetzt auf unser beispiel anwende würde das meiner meinung nach so aussehen:

${b_{n}} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$ einmal nach oben und einmal nach unten abschätzen $\Rightarrow$

${a_{n}} = \frac{1}{2 \sqrt{n + 1}} \to 0, {c_{n}} = \frac{1}{2 \sqrt{n}} \to 0$

$\Rightarrow {b_{n}} \to 0$

ist das korrekt ?

673156

672634

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?