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Grenzwert berechnen (mit Betrag)

Schüler Gymnasiale Oberstufe, 11. Klassenstufe

Tags: Grenzwert

Baumelmann aktiv_icon

22:47 Uhr, 15.08.2012

Die Funktion lautet:

f (x) = (\frac{x}{2 \cdot | x |})

Ich hab bereits durch einsetzen herausgefunden, dass die Grenzwerte jeweils

(- \frac{1}{2}

und

\frac{1}{2})

sind. Aber rechnerisch hab ich keine Idee, wie ich hier den Grenzwert bilde.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

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Ma-Ma aktiv_icon

23:03 Uhr, 15.08.2012

Ich würde unterscheiden zwischen x>0 bzw. x<0 und dann diese beiden Fälle untersuchen.
LG Ma-Ma

SoerenC aktiv_icon

00:31 Uhr, 16.08.2012

Hallo,

ich hoffe, die Lösung stimmt so: (vielleicht guckt jemand drüber)

Wenn wir einen Grenzwert haben, der gegen

\frac{" 0 "}{" 0 "}

oder

\frac{" \infty "}{" \infty "}

geht, verwendet man im Allgemeinen die Regel von l'Hospital.

Sie besagt, dass man sich in solchen Fällen durch Ableiten oder Integrieren helfen kann.
(wichtig: Differenziert man Brüche, verwendet man normalerweise die Quotientenregel. Bei der Regel von l'Hospital aber werden Zähler und Nenner jeweils separat abgeleitet.)

Definition:
Wenn der Grenzwert im Folgenden von links nach rechts gegen Null geht (auf der Zahlengeraden),
dann schreibe ich

l i m_{x ↑ 0}

, ansonsten

l i m_{x ↓ 0}

(hoffe, ich habe die Pfeilrichtungen nicht vertauscht)

Gegeben:

f (x) = \frac{x}{2 ∣ x ∣}

Betrachte die Stelle, wo das Vorzeichen wechselt, bzw wo die Funktion nicht Definiert ist. Hier ist es die

0

.

Von links kommend

l i m_{x ↑ 0} \frac{x}{2 \cdot ∣ x ∣} = \frac{- " 0 "}{2 \cdot " 0 "} \to

l'Hospital anwenden
Ableiten von

- \frac{x}{2 \cdot ∣ x ∣}

(nach l'Hospital) ergibt

- \frac{1}{2 \cdot ∣ 1 ∣} = - \frac{1}{2}

Von rechts kommend

l i m_{x ↓ 0} \frac{x}{2 \cdot ∣ x ∣} = \frac{" 0 "}{2 \cdot " 0 "} \to

l'Hospital anwenden
Ableiten von

\frac{x}{2 \cdot ∣ x ∣}

(nach l'Hospital) ergibt

\frac{1}{2 \cdot ∣ 1 ∣} = \frac{1}{2}

l i m_{x ↑ 0} \neq l i m_{x ↓ 0}

, existiert der

l i m_{x \to 0}

nicht und die Funktion ist in

x = 0

nicht stetig. Der Definitionsbereich ist also

ℝ \ {0}

rundblick aktiv_icon

01:00 Uhr, 16.08.2012

hm - warum wundert sich denn niemand, dass Baumelmann

gar nicht weiss (bzw. nicht verkündet)

\to

an welcher Stelle

er denn zum Grenzwert baumelt ?

SoerenC aktiv_icon

08:22 Uhr, 16.08.2012

Ich finde, was er möchte, ergibt sich aus dem Kontext :-)

Bummerang

10:11 Uhr, 16.08.2012

Hallo SoerenC,

"Ich finde, was er möchte, ergibt sich aus dem Kontext :-)"

Aus welchem Kontext ergibt sich was?

Handelt es sich hier um das Verhalten im Unendlichen oder geht es um den links- und rechtsseitigen Grenzwert für

x

gegen Null? Ich kann dafür keinerlei Hinweise finden und halte deshalb rundblicks Frage für berechtigt.!

@Baumelmann:

Mach Dir doch mal Gedanken, was

\frac{x}{| x |}

ergibt in den beiden Fällen

x < 0

und

x > 0

. Es ist ein gängiges Mittel für die Bestimmung von Grenzwerten, die Quotienten zu kürzen und so Lücken bzw. Sprünge leichter zu berechnen!

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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