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Grenzwert der Komplexen geometrischen Reihe

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert, Konvergenz

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Freihalt

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22:51 Uhr, 31.03.2018

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Servus,

ich habe hier die folgende Aufgabe vor mir liegen (Überprüfen auf Konvergenz&Grenzwert):

Σ_{k = o, \infty} k^{2} \cdot {(\frac{1 - i}{2 + i})}^{k}

Der Betrag der Klammer ist

\frac{10^{0.5}}{5}

also

< 1 :

Daraus folgt die verallgemeinerte geometrische Reihe:

Σ_{k = 0, \infty} k^{m} \cdot z^{k}

mit

m

element

N,

konvergiert die Reihe absolut für

| z | < 1

Wie berechne ich denn aber den Grenzwert?
In den Lösungen steht:

- \frac{93}{125} + \frac{51}{125} i

Geht das mit?

Σ_{k = 0, \infty} z^{k} = \frac{1}{1 - z}

für

| z | < 1

Komme aber nicht auf die Lösung, bitte um Tipps.
Dankeschön

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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Respon

11:58 Uhr, 01.04.2018

Antworten

Aus der geometrischen Reihe lassen sich durch Differentiation andere Reihen ableiten.

\sum_{k = 0}^{\infty} z^{k} = \frac{1}{1 - z}

| z | < 1, z \neq 0

\sum_{k = 0}^{\infty} k \cdot z^{k - 1} = \frac{1}{{(1 - z)}^{2}}

\frac{1}{z} \cdot \sum_{k = 0}^{\infty} k \cdot z^{k} = \frac{1}{{(1 - z)}^{2}} \Rightarrow \sum_{k = 0}^{\infty} k \cdot x^{k} = \frac{z}{{(1 - z)}^{2}}

\sum_{k = 0}^{\infty} k^{2} \cdot z^{k - 1} = \frac{1 + z}{{(1 - z)}^{3}} \Rightarrow \sum_{k = 0}^{\infty} k^{2} \cdot z^{k} = \frac{z \cdot (1 + z)}{{(1 - z)}^{3}}

( ev. Tippfehler ausbessern )

Antwort

Roman-22

12:02 Uhr, 01.04.2018

Antworten

Ab der zweiten Zeile fehlt im Ergebnis jeweils ein negatives Vorzeichen!
EDIT: Fehler von mir! Respons Rechnung ist korrekt!

Antwort

Respon

12:05 Uhr, 01.04.2018

Antworten

[\frac{1}{1 - z}]' = \frac{1}{{(1 - z)}^{2}}

Antwort

Roman-22

12:08 Uhr, 01.04.2018

Antworten

Ach Gott ja!
Unsin von mir, sorry!
(Ist noch zu früh ;-)

Antwort

Respon

12:11 Uhr, 01.04.2018

Antworten

\frac{1}{1 - z} = {(1 - z)}^{- 1} \Rightarrow (- 1) \cdot {(1 - z)}^{- 2} \cdot (- 1) = \frac{1}{{(1 - z)}^{2}}

Antwort

Respon

12:16 Uhr, 01.04.2018

Antworten

Da bin ich beruhigt

! (. .

. und kann mich weiter dem Eierlikör widmen

!)

Frage beantwortet

Freihalt

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12:34 Uhr, 01.04.2018

Antworten

Vielen Dank!

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