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Grenzwert einer Folge mit Fakultät

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Fakultät, Folgen, Grenzwert

Dalouvan aktiv_icon

20:04 Uhr, 05.11.2011

Hallo nochmals...

Ich hatte heute auch schon eine Frage zu einem Grenzwert gestellt und jetzt sitzt ich wieder an einer Aufgabe, wo es wieder um einen Grenzwert geht und ich komme einfach nicht weiter.
Ich soll folgende Reihe auf Konvergenz hin untersuchen und ggf. den Grenzwert angeben:

a_{n} = \frac{{(3 n)}^{n}}{{(n!)}^{2}}

Kann mir bitte irgendwer helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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Mathe-Steve aktiv_icon

20:36 Uhr, 05.11.2011

Hallo,

kommt wohl darauf an, was Du über n! weißt.

Es gibt einige Näherungsformeln für die Fakultät.

Gruß

Stephan

Dalouvan aktiv_icon

20:44 Uhr, 05.11.2011

Hallöchen! :-)

Ja, also ich hab mir auch die Besipiele die wir in der Vorlesung hatten angeguckt, aber ich weiß nicht, wie ich das was ich über

n!

weiß, anwende.

Also Folgendes hat der Professor angeschrieben:

(\frac{n}{3}) = < n! = < {(\frac{n}{2})}^{n}

für

n \geq 6

Außerdem hatten wir das folgende Beispiel:

lim_{n \to \infty} (\frac{n!}{n^{n}}) = 0

Ich verstehe garnicht, wie man auf den Grenzwert kommt.

Mathe-Steve aktiv_icon

20:49 Uhr, 05.11.2011

Kann es sein, dass Deine erste Abschätzung ${(\frac{n}{3})}^{n} \leq n! \leq {(\frac{n}{2})}^{n}$ heißen soll?

Dann wäre die linke Seite der Abschätzung die Lösung Deines Problems.

Dalouvan aktiv_icon

20:52 Uhr, 05.11.2011

Also in meinem Skript steht kleiner-gleich..

Wieso wäre das denn dann schon die Lösung meines Problems?

Mathe-Steve aktiv_icon

20:57 Uhr, 05.11.2011

kleiner oder kleinergleich ist im Wesentlichen egal. Mir ging es um das hoch n bei n/3, das bei Dir nicht dasteht.

Dalouvan aktiv_icon

20:59 Uhr, 05.11.2011

Gott bin ich doof.

Ja, Du hast Recht.

Mathe-Steve aktiv_icon

21:01 Uhr, 05.11.2011

Das hat doch nichts mit doof zu tun, kleiner Flüchtigkeitsfehler.

Welchen Grenzwert hat denn Deiner Meinung nach $\frac{9^{n}}{n!}$ ?

Dalouvan aktiv_icon

21:08 Uhr, 05.11.2011

Ich könnte nur raten, weil ich echt keine Ahnung habe, wie man den Grenzwert von Fakultäten bestimmt.

9^{n}

läuft für

n \to \infty

gegen

\infty

und wogegen

n!

läuft...Hmm..

Läuft

n!

nicht auch gegen

\infty,

nur halt "langsamer" als

9^{n}

Mathe-Steve aktiv_icon

21:22 Uhr, 05.11.2011

n!=n*(n-1)*...*3*2*1

also 10! =10*9*8*7*6*5*4*3*2*1=3.628.800

11!=11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1=11*10!=39.916.800

n! geht also mächtig gegen unendlich.

Meine Idee geht so:

$\frac{(3 n)^{n}}{n!^{2}} = \frac{(9 \cdot \frac{n}{3})^{n}}{n!^{2}} = \frac{9^{n} \cdot (\frac{n}{3})^{n}}{n!^{2}} \leq \frac{9^{n} \cdot n!}{n!^{2}} = \frac{9^{n}}{n!} \leq \frac{9^{n}}{18^{n}} = (\frac{9}{18})^{n} = {(\frac{1}{2})}^{n} \to 0$

Dabei gilt die erste Abschätzung ab n=6 und die zweite ab n=47.

Letzteres kann man mit vollständiger Iduktion zeigen.

$n! \geq 18^{n}$

Induktionsanfang:

Für n=47 stimmt das.

Induktionsschluss n->n+1:

$(n + 1)! = (n + 1) \cdot n! \geq (n + 1) \cdot 18^{n} \geq 18 \cdot 18^{n} = 18^{n + 1}$

Die letzte Ungleichung gilt, weil n mindestens 47 und damit n+1 größer als 18 ist.

Wenn Du allerdings das Quotintenkriterium kennst, oder vielleicht weißt, dass $\lim_{n \to \infty} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{9^{n}}{n!}$ konvergiert- nämlich gegen $e^{9}$ , kannst Du Dir die lnduktion sparen.

Dalouvan aktiv_icon

21:29 Uhr, 05.11.2011

Also erstmal danke für die Lösung.
Könntest Du mir erklären, wie man auf diese Abschätzungen kommt?
Ich meine, ich hatte auch schon nicht verstanden, wie man auf

{(\frac{n}{3})}^{n} < n! < {(\frac{n}{2})}^{n}

kam. ist zwar schön, jetzt eine Lösung bekommen zu haben, aber ich verstehe das wirklich nicht.

Mathe-Steve aktiv_icon

21:32 Uhr, 05.11.2011

Habt ihr das nicht mit vollständiger Induktion bewiesen?

Dalouvan aktiv_icon

21:35 Uhr, 05.11.2011

Wir, bzw. der Professor, haben es auch per vollständiger Induktion bewiesen, aber die einzelnen Schritte des Beweises sind mir auch ein Rätsel.

Mathe-Steve aktiv_icon

21:35 Uhr, 05.11.2011

Ist Dir denn das Prinzip der vollst. Induktion klar?

Dalouvan aktiv_icon

21:38 Uhr, 05.11.2011

Ja, das würde ich jetzt einfach mal behaupten. :-)

Mathe-Steve aktiv_icon

21:41 Uhr, 05.11.2011

Also zeigen wir jetzt ${(\frac{n}{3})}^{n} \leq n!$ für $n \geq 6$ .

Wie geht es los?

Dalouvan aktiv_icon

22:00 Uhr, 05.11.2011

Okay...

IA:

n = 6

{(\frac{6}{3})}^{6} = 2^{6} = 64

und

6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720

\to 64 < 720

stimmt.

IV: Die Behauptung gilt für ein

n \geq 6

aus den nat. Zahlen.

IS:

n \to n + 1

{(\frac{n + 1}{3})}^{n + 1} = (\frac{n + 1}{3}) \cdot {(\frac{n + 1}{3})}^{n} < (n + \frac{1}{3}) \cdot n!

so und weiter komm ich nicht. Ich weiß, dass ich das so umformen muss, sodass daraus dann folgt, dass das ganze oben

< (n + 1)!

Unser Professor hatte in seinem Beweis so etwas stehen:

(\frac{n + 1}{3}) \cdot {(\frac{n + 1}{3})}^{n} = (\frac{n + 1}{3}) \cdot {(\frac{n + 1}{3})}^{n} \cdot {(\frac{n}{3})}^{n}

Ich weiß garnicht, wo der diese

{(\frac{n}{3})}^{n}

her hat.

Mathe-Steve aktiv_icon

22:18 Uhr, 05.11.2011

Wenn Du mal nicht etwas falsches von der Tafel abgeschrieben hast.

Wie geht es denn danach weiter?

Dalouvan aktiv_icon

22:25 Uhr, 05.11.2011

(\frac{n + 1}{3}) \cdot {(\frac{n + 1}{3})}^{n} \cdot {(\frac{n}{3})}^{n} \leq (\frac{n + 1}{3}) \cdot {(\frac{n + 1}{3})}^{n} \cdot n! \leq (n + 1) \cdot n! = (n + 1)!

Mathe-Steve aktiv_icon

22:32 Uhr, 05.11.2011

Nein, so geht das nicht, sondern:

${(\frac{n + 1}{3})}^{n + 1} = \frac{n + 1}{3} \cdot {(\frac{n + 1}{3})}^{n} = \frac{n + 1}{3} \cdot (\frac{n \cdot (n + 1)}{n \cdot 3})^{n} = \frac{n + 1}{3} \cdot {(\frac{n}{3})}^{n} \cdot {(\frac{n + 1}{n})}^{n} = \frac{n + 1}{3} \cdot {(\frac{n}{3})}^{n} \cdot {(1 + \frac{1}{n})}^{n} \leq \frac{n + 1}{3} \cdot n! \cdot {(1 + \frac{1}{n})}^{n} \leq \frac{n + 1}{3} \cdot n! \cdot 3 = (n + 1) \cdot n! = (n + 1)!$

Dalouvan aktiv_icon

22:37 Uhr, 05.11.2011

Bis zu dem ersten

\leq

kann ich Deine Schritte nachvollziehen (jetzt verstehe ich auch, wo mein Prof die

{(\frac{n}{3})}^{n}

her hatte), aber was danach kommt verstehe ich nicht.

Mathe-Steve aktiv_icon

22:41 Uhr, 05.11.2011

Beim ersten $\leq$ benutze ich die Induktionsvoraussetzung ${(\frac{n}{3})}^{n} \leq n!$ , die man ja benutzen darf, um ${(\frac{n + 1}{3})}^{n + 1} \leq (n + 1)!$ zu beweisen.

Dalouvan aktiv_icon

22:45 Uhr, 05.11.2011

Ja, aber normalerweise würde man doch

{(\frac{n + 1}{3})}^{n}

wegen der Induktionsvoraussetztung mit

n!

ersetzten. Du hast aber diese

{(\frac{n + 1}{3})}^{n}

umgefort, indem du es mit

\frac{n}{n}

multipliziert hast etc. und hast dann nur die

{(\frac{n}{3})}^{n}

durch

n!

ersetzt. Ich verstehe nicht wieso das geht.

Mathe-Steve aktiv_icon

22:50 Uhr, 05.11.2011

Nein, das macht man nie so. Zuerst formt man den Term für n+1 (hier: ${(\frac{n + 1}{3})}^{n + 1}$ ) solange um, bis der Term für n (hier ${(\frac{n}{3})}^{n}$ )da steht, und den ersetzt man dann (hier durch $n!$ ) und das Ganze formt man dann um bis zum Ende (hier $(n + 1)!$ )

Und man darf das hier, weil alle Schritte bis zu dieser Ersetzung = sind.

Also nocheinmal:

Der Induktionschluss verlangt, ${(\frac{n + 1}{3})}^{n + 1} \leq (n + 1)!$ zu beweisen, wobei man an irgendeiner Stelle ${(\frac{n}{3})}^{n} \leq n!$ benutzen darf.

Dalouvan aktiv_icon

22:54 Uhr, 05.11.2011

Es erschüttert mich, wenn ich festelle, dass die Dinge, die ich eigentlich verstanden zu haben glaubte, nicht richtig sind..

= (

Okay und wieso

{(1 + \frac{1}{n})}^{n} = 3

Mathe-Steve aktiv_icon

22:58 Uhr, 05.11.2011

Nicht =, sondern $\leq$ .

Erinnere Dich an den anderen Thread:

${(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ strebt streng monoton wachsend gegen e und e $\approx$ 2,71828, also ${(1 + \frac{1}{n})}^{n} \leq 3$ .

Was genau studierst Du eigentlich?

Dalouvan aktiv_icon

23:04 Uhr, 05.11.2011

Ich bin...argh... Wieso komme ich nie auf so etwas? Das ist nichtmal mehr nur noch beschämend, sondern...hach...

= (

Mathematik im Kern- und Literaturwissenschaft im Nebenfach..

Und Du? Bist Du etwa ein pensionierter Mathematikprofessor oder "nur" irgendein Mathegenie?

Mathe-Steve aktiv_icon

23:14 Uhr, 05.11.2011

Mathe ist nun einmal harte Arbeit.

Verstehst Du denn nun den Beweis und auch warum $\frac{{(3 n)}^{n}}{n!^{2}} \to 0$ gilt?

Dalouvan aktiv_icon

23:21 Uhr, 05.11.2011

Wenn ich ehrlich bin, nein. Keine Ahnung wo die 9 und die

18

herkommen. Ich glaube, in den nächsten paar Stunden werde ich es auch nicht verstehen..Sitze (die Pausen abgezogen) seit gut

10

Stunden schon an Mathe und mein Kopf droht gleich zu explodieren.

Trotzdem danke ich Dir wirklich sehr für Deine Hilfe.

Mathe-Steve aktiv_icon

23:22 Uhr, 05.11.2011

Machen wir morgen weiter. Schlaf Dich aus.
Noch ein Tipp:

3 = \frac{9}{3}

Dalouvan aktiv_icon

23:24 Uhr, 05.11.2011

Ich kann´s mir grad nicht verkneifen: Du bist ein Schatz! :-D)

Gute Nacht und bis morgen (denn an Fragen mangelt es bei mir nie).

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